Chủ đề này có 3 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8$ và điểm $A = \left( { - 3; - 2} \right)$. Tìm trên $\left( C \right)$ điểm $M$ sao cho $MA$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Cách 1: Sử dụng kiến thức lớp 10.

Cách 2: Sử dụng kiến thức lớp 11, 12.

[tieulyly1995]

Bài toán. Cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8$ và điểm $A = \left( { - 3; - 2} \right)$. Tìm trên $\left( C \right)$ điểm $M$ sao cho $MA$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ta thấy : đường tròn $\left( C \right)$ có tâm$I(1;2)$ và bán kính $R = 2\sqrt{2}$.
$A(-3;-2)$ nên $IA = 4\sqrt{2}$, do đó : $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.
Ta có : $MA^{2}= AI^{2}+MI^{2}-2AI.MI.cos\widehat{AIM}$
do đó :
$MA_{min}\Leftrightarrow cos\widehat{AIM}=1$, khi đó $M$ thuộc $AI$
$MA_{max}\Leftrightarrow cos\widehat{AIM}=-1$, khi đó $I$ thuộc $MA$

[Nguyễn Hoàng Lâm]

Em xin góp một cách khác, không thực sự hay lắm nhưng cũng đáng để thử, cách này thuần túy dạng đại số:
Gọi $ M(x;y) $ , Ta có: $ MA=\sqrt{(x+3)^2+(y+2)^2} (1) \\ (x-1)^2+(y-2)^2=8 (2) $
$ (1) \Leftrightarrow MA^2 = (x+3)^2+(y+2)^2 \Leftrightarrow MA^2 = (x-1)^2+(y-2)^2+8+8(x+y) \\
\Leftrightarrow MA^2= 40+8[(x-1)+(y-2)] $
Áp dụng BĐT BCS ta có : $ -\sqrt{2[(x-1)^2+(y-2)^2]} \leq (x-1)+(y-2) \leq \sqrt{2[(x-1)^2+(y-2)^2]} \\ \Leftrightarrow -4 \leq (x-1)+(y-2) \leq 4 $
Từ đó ta có : $ 8 \leq MA^2 \leq 72 \Leftrightarrow 2\sqrt2 \leq MA \leq 6\sqrt2 $
Từ đây ta có thể kết luận được Min, Max của MA và đẳng thức xảy ra của BĐT BCS để tìm điểm $ M $

[Crystal]

Mình xin gửi lời giải cho bài toán này để các bạn tham khảo.

Cách 1: Dành cho học sinh lớp 10.

- Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I = \left( {1;2} \right);R = 2\sqrt 2 $

- Dể thấy $A$ ở ngoài $\left( C \right)$

- Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua $A, I$

Phương trình của $(d):y = x + 1$

Gọi $\left\{ {{M_1};{M_2}} \right\} = \left( d \right) \cap \left( C \right) \Rightarrow {M_1} = \left( { - 1;0} \right);{M_2} = \left( {3;4} \right)$

$A{M_1} = 2\sqrt 2 ;A{M_2} = 6\sqrt 2 $

Vậy $MA$ ngắn nhất khi $M \equiv {M_1}$, $MA$ lớn nhất khi $M \equiv {M_2}$

Cách 2: Dành cho học sinh lớp 11- 12

Ta có phương trình $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow {\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{y - 2}}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = 1$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{x - 1}}{{2\sqrt 2 }} = \sin \alpha \\
\frac{{y - 2}}{{2\sqrt 2 }} = \cos \alpha
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2\sqrt 2 \sin \alpha \\
y = 2 + 2\sqrt 2 \cos \alpha
\end{array} \right.$

Gọi $M \in \left( C \right) \Rightarrow M = \left( {1 + 2\sqrt 2 \sin \alpha ;2 + 2\sqrt 2 \cos \alpha } \right)$ với $\alpha \in \left[ {0;2\pi } \right]$

Khi đó: $M{A^2} = {\left( { - 3 - 1 - 2\sqrt 2 \sin \alpha } \right)^2} + {\left( { - 2 - 2 - 2\sqrt 2 \cos \alpha } \right)^2} = {\left( {4 + 2\sqrt 2 \sin \alpha } \right)^2} + {\left( {4 + 2\sqrt 2 \cos \alpha } \right)^2}$

$M{A^2} = 40 + 32\sqrt 2 \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) = 40 + 32\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)$

$ \Rightarrow 8 \le M{A^2} \le 72 \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \le MA \le 6\sqrt 2 $

$MA$ nhỏ nhất bằng $2\sqrt 2 $ khi $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Rightarrow \alpha = \frac{{5\pi }}{4} \Rightarrow {M_1} = \left( { - 1;0} \right)$

$MA$ lớn nhất bằng $6\sqrt 2 $ khi $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi }{4} \Rightarrow {M_2} = \left( {3;4} \right)$.