4/Cho a,b,c là các số thực thõa mãn đk $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Cmr:$\frac{1}{5-6ab}+\frac{1}{5-6bc}+\frac{1}{5-6ca}\leq 1$ =~
Say đắm BDT
Bài làm :
Quy đồng =))
Ta có :
$BDT \Leftrightarrow \sum (5-6bc)(5-6ca) \leq (5-6bc)(5-6ca)(5-6ab)$
$\Leftrightarrow \sum 25-30ca -30bc +36abc^2 \leq (5-6bc)(5-6ca)(5-6ab)$
$\Leftrightarrow 75 -60(ab+bc+ca) +36abc(a+b+c) \leq 125 -150(ab+bc+ca) +180abc(a+b+c) -216a^2b^2c^2$
$\Leftrightarrow 50 -90(ab+bc+ca) +144abc(a+b+c) -216a^2b^2c^2 \geq 0$
Đặt$ a+b+c =p$ ;$ab+bc+ca =q$ ;$abc=r$
Ta có :$BDT \leftrightarrow 50-90q +144rp -216r^2 \geq 0$
$\Leftrightarrow 25-45q +72rp -108r^2 \geq 0$
Theo giả thiết $\Rightarrow q \leq a^2 +b^2 +c^2 =1$
Vậy$ BDT \Leftrightarrow -20 +72rq -108r^2 \geq 0$
Không dưng lại ở đó
Cũng theo giả thiết $\Rightarrow 1=a^2 +b^2 +c^2 \geq 3\sqrt{r^2} \Rightarrow \frac{1}{27} \geq r^2$
Vậy $BDT \Leftrightarrow -24 +72rq \geq 0$
Mà thậm chí theo schur :
$r \geq \frac{p(4q-p^2)}{9}$
$\Rightarrow rp \geq \frac{p^2(4q-p^2)}{9} (1)$
Hơn thế nữa $p^2 =1 +2q$
Thay vào $(1) \Rightarrow rp \geq \frac{(1+2q)(2q-1)}{9}=\frac{4q^2-1}{9}$
Nên $72rq \geq 8(4q^2 -1)$
Tóm lại $BDT \Leftrightarrow -24 +32q^2 -8 \geq 0$
Vì vậy :$BDT \Leftrightarrow p^2 \geq 1 :\text{Luôn Đúng}$
Có thể nói BDT đã được chứng minh hoàn toàn
Dấu "$=$" sảy ra $\leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
---- Toán + Văn ra bài này =)) ---------------