Chủ đề này có 3 trả lời

[uyenha]

Cho số nguyên dương thỏa mãn:
$1+1^{n-1}+2^{n-1}+...+(n-1)^{n-1}\equiv 0(mod n)$. Chứng minh rằng n không có ước chính phương khác $1$.
___
NLT: Viết hoa đầu dòng để tăng tính thẩm mĩ bạn nhé !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 11-11-2012 - 16:39

[nguyenta98]

cho số nguyên dương thỏa mãn:
$1+1^{n-1}+2^{n-1}+...+(n-1)^{n-1}\equiv 0(mod n)$.cmr n không có ước chính phương khác 1

Bài này quả thực là hay
Giải như sau:
Giả sử tồn tại một ước $p$ nguyên tố của $n$ sao cho $n \vdots p^2$
Khi ấy $n=mp^2$
TH1: $n$ chẵn suy ra $n-1$ lẻ khi ấy $1+1^{n-1}+2^{n-1}+...+(n-1)^{n-1}=1+(1^{n-1}+(n-1)^{n-1})+...+\left(\dfrac{n-2}{2})^{n-1}+(\dfrac{n+2}{2})^{n-1}\right)+(\dfrac{n}{2})^{n-1}$
TH1(1): $n=2^u.v$ với $v$ lẻ và $v>1$ khi ấy $(\dfrac{n}{2})^{mp^2-1} \vdots v$ do đó $1+1^{n-1}+...+(n-1)^{n-1}$ không chia hết cho $v$ nên cũng không chia hết cho $n$ vô lí
TH2(2): $n=2^u$ khi ấy $v_2((\dfrac{n}{2})^{n-1})=u.(n-1)>\geq u$ do $n>1$ còn $n=1$ thì hiển nhiên
Khi ấy $1+1^{n-1}+...+(n-1)^{n-1}$ không chia hết cho $n$ cũng loại
TH2: $n$ lẻ suy ra $n=mp^2$ lẻ nên $mp^2-1$ chẵn và $mp^2-2$ lẻ
Do đó $1+1^{mp^2-1}+2^{mp^2-1}+...+(mp^2-1)^{mp^2-1} \equiv 1+1^{mp^2-1}+2^{mp^2-1}+...+(mp^2-1)^{mp^2-1}+(mp^2)^{mp^2-1} \pmod{p^2}$
Ta chứng minh điều sau:
$(kp+1)^{mp^2-1}+(kp+2)^{mp^2-1}+...+(kp+p-1)^{mp^2-1}+(kp+p)^{mp^2-1} \equiv ((k+1)p+1)^{mp^2-1}+...+((k+1)p+p)^{mp^2-1} \pmod{p^2}$
Thật vậy ta xét hiệu
$\sum_{i=1}^p{((k+1)p+i)^{mp^2-1}}-sum{i=1}^p{(kp+i)^{mp^2-1}}$
$=\sum{i=1}^p{((k+1)p+i)^{mp^2-1}-(kp+i)^{mp^2-1}}$
$=\sum{i=1}^p{(kp+i+p)^{mp^2-1}-(kp+i)^{mp^2-1}}$
$=\sum{i=1}^p{C_{mp^2-1}^1.(kp+i)^{mp^2-2}.p+C_{mp^2-1}^2.(kp+i)^{mp^2-3}.p^2+...+p^{mp^2-1}}$
$\equiv \sum{i=1}^p{C_{mp^2-1}^1.(kp+i)^{mp^2-2}.p} \pmod{p^2}$
$\equiv (mp^2-1).p.\sum{i=1}^p{(kp+i)^{mp^2-2}} \pmod{p^2}$
Ta xét $\sum{i=1}^p{(kp+i)^{mp^2-2}}=(kp+1)^{mp^2-2}+(kp+2)^{mp^2-2}+...+(kp+p)^{mp^2-2}$
$=[(kp+1)^{mp^2-2}+(kp+p-1)^{mp^2-2}]+...+[(kp+\dfrac{p-1}{2})^{mp^2-2}+(kp+\dfrac{p+1}{2})^{mp^2-2}]+(kp+p)^{mp^2-2}$
Ta có $(kp+i)^{mp^2-2}+(kp+p-i)^{mp^2-2} \vdots p$ do $mp^2-2$ là lẻ do $n$ chẵn
Suy ra ta thu được rằng $\equiv (mp^2-1).p.\sum{i=1}^p{(kp+i)^{mp^2-2}} \pmod{p^2} \equiv 0 \pmod{p^2}$
Do đó $(kp+1)^{mp^2-1}+(kp+2)^{mp^2-1}+...+(kp+p-1)^{mp^2-1}+(kp+p)^{mp^2-1} \equiv ((k+1)p+1)^{mp^2-1}+...+((k+1)p+p)^{mp^2-1} \pmod{p^2}$
Trở lại bài toán ta có $1+1^{mp^2-1}+2^{mp^2-1}+...+(mp^2-1)^{mp^2-1} \equiv 1+1^{mp^2-1}+2^{mp^2-1}+...+(mp^2)^{mp^2-1} \pmod{p^2}$ (do $(mp^2)^{mp^2-1} \vdots p^2$)
Ta chia $1+1^{mp^2-1}+2^{mp^2-1}+...+(mp^2)^{mp^2-1}$ như sau
$1$
$A_1=1^{mp^2-1}+..+p^{mp^2-1}$
$A_2=(p+1)^{mp^2-1}+...+(2p)^{mp^2-1}$
$....$
$A_{mp}=((mp-1)p+1)^{mp^2-1}+...+(mp^2)^{mp^2-1}$
Theo nhận định ở trên suy ra $A_i \equiv A_{i+1} \pmod{p^2}$ do đó $A_1 \equiv A_2 \equiv ... \equiv A_{mp} \pmod{p^2}$
Suy ra $1+1^{n-1}+...+(n-1)^{n-1}=1+A_1+A_2+...+A_{mp} \equiv 1+(mp).A_1 \pmod{p^2}$ do đó $1+1^{n-1}+...+(n-1)^{n-1} \not \vdots n$ đây là điều vô lí suy ra điều giả sử là sai nên $n$ là số không có ước chính phương khác $1$ đây là $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 11-11-2012 - 16:42

[Nxb]

Bài này quả thực là hay
Giải như sau:
Giả sử tồn tại một ước $p$ nguyên tố của $n$ sao cho $n \vdots p^2$
Khi ấy $n=mp^2$
TH1: $n$ chẵn suy ra $n-1$ lẻ khi ấy $1+1^{n-1}+2^{n-1}+...+(n-1)^{n-1}=1+(1^{n-1}+(n-1)^{n-1})+...+\left(\dfrac{n-1}{2})^{n-1}+(\dfrac{n+1}{2})^{n-1}\right)=1+n.B$ suy ra $1+1^{n-1}+...+(n-1)^{n-1} \not \vdots n$ vô lí

Phần đầu có đúng không nhỉ bởi vì tổng của $n-1$ số tức là tổng của một số lẻ số làm sao mà tách thành tổng các cặp

[nguyenta98]

Phần đầu có đúng không nhỉ bởi vì tổng của $n-1$ số tức là tổng của một số lẻ số làm sao mà tách thành tổng các cặp

Đã sửa