Chủ đề này có 1 trả lời

[nucnt772]

BÀI TOÁN: Cho $0< s< 1$ và $a,b,c$ là 3 số dương. Chứng minh rằng:
$(\frac{a^{s}+b^{s}}{2})^{\frac{1}{s}}+(\frac{b^{s}+c^{s}}{2})^{\frac{1}{s}}+(\frac{c^{s}+a^{s}}{2})^{\frac{1}{s}}\leq a+b+c$.

[le_hoang1995]

BÀI TOÁN: Cho $0< s< 1$ và $a,b,c$ là 3 số dương. Chứng minh rằng:
$(\frac{a^{s}+b^{s}}{2})^{\frac{1}{s}}+(\frac{b^{s}+c^{s}}{2})^{\frac{1}{s}}+(\frac{c^{s}+a^{s}}{2})^{\frac{1}{s}}\leq a+b+c$.

Chỉ cần chứng minh 1 trong 3 BĐT, này, các BĐT sau tương tự.
$$\left ( \frac{a^s+b^s}{2} \right )^{\frac{1}{s}}\leq \frac{a+b}{2}$$
Sử dụng BĐT $\frac{x_1^p+x_2^p}{2}\geq \left ( \frac{x_1+x_2}{2} \right )^p$ với $p>1$ đây chính là BĐT Jensen
$$\frac{(a^s)^{\frac{1}{s}}+(b^s)^{\frac{1}{s}}}{2}\geq \left ( \frac{a^s+b^s}{2} \right )^{\frac{1}{s}}$$
$$\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \left ( \frac{a^s+b^s}{2} \right )^{\frac{1}{s}}$$
Tương tự cho 2 BĐT còn lại, ta suy ra ĐPCM