Chủ đề này có 4 trả lời

[Yeu tho Tran Trung Kien]

Bài toán :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ca^2}{b^3} \ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yeu tho Tran Trung Kien: 25-08-2012 - 17:16

[minh29995]

Bài toán :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ca^2}{b^3} \ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$$

BĐT cần chứng minh tương đương:
$\sum\frac{1}{a^3}+\frac{a}{b^4}+\frac{b}{c^4}+\frac{c}{a^4}\geq\frac{18}{a^3+b^3+c^3}$
Áp dụng C-S ta có:
$\sum\frac{1}{a^3}\geq\frac{9}{a^3+b^3+c^3}$ (1)
Giả sử $a\geq b\geq c$, Áp dụng BĐT hoán vị ta có:
$\frac{a}{a^4}+\frac{b}{b^4}+\frac{c}{c^4}\leq \frac{a}{b^4}+\frac{b}{c^4}+\frac{c}{a^4}$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b^4}+\frac{b}{c^4}+\frac{c}{a^4}\geq \sum\frac{1}{a^3}\geq \frac{9}{a^3+b^3+c^3}$ (2)
Cộng vế (1) và (2) ta có ĐPCM

[Tham Lang]

$$VT \ge 6, VP \le 6$$
Suy ra ĐPCM.

[Ispectorgadget]

Bài toán :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ca^2}{b^3} \ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$$

Bài này khá hay
Áp dụng BĐT B.C.S ta có $$(a^3+b^3+c^3)(\frac{1+bc^2}{a^3}+\frac{1+ca^2}{b^3}+\frac{1+ab^2}{c^3})\geq (\sqrt{1+bc^2}+\sqrt{1+ca^2}+\sqrt{1+ab^2})^2$$
Áp dụng BĐT Minkowski ta có $$ (\sqrt{1+bc^2}+\sqrt{1+ca^2}+\sqrt{1+ab^2})^2\geq \sqrt{(1+1+1)^2+(c\sqrt{b}+a\sqrt{c}+b\sqrt{a})}^2\geq 9+9=18$$
Từ đây ta có điều phải chứng minh $\blacksquare$

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1+ab^2}{c^3}+\dfrac{1+bc^2}{a^3}+\dfrac{1+ca^2}{b^3} \ge \dfrac{18}{a^3+b^3+c^3}$$

Nhân $a^3+b^3+c^3$ ở mẫu lên thì thực chất ta chỉ cần CM 2 BĐT sau :
$\left (a^3+b^3+c^3\right )\left (\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right )\geq 9$
và : $(a^3+b^3+c^3)(\frac{ab^2}{c^3}+\frac{bc^2}{c^3}+\frac{ca^2}{c^3})\geq 9$
Cả hai đều đúng theo AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 01-09-2012 - 20:38