Chủ đề này có 7 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:\[f\left( {3x + 2} \right) = 3f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}\]
Tìm tất cả các hàm số $f$.

[robin997]

Bài toán. Cho hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:\[f\left( {3x + 2} \right) = 3f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}\](*)
Tìm tất cả các hàm số $f$.

-Thay $x$ bằng $-1+x$
$(*)\Rightarrow f(3x-1)=3f(x-1)$
-Lấy $f(x-1)=g(x)$ , ta có:
$g(3x)=3g(x)$
-Thay $x=0$ , hiển nhiên $g(0)=0$
-Lấy: $g(x)=xh(x)$
-Theo đó: $h(3x)=h(x)$ ($h(0)$ vô xác định)
-$h$ là một hàm tuần hoàn nhân tính chu kì 3 và liên tục nên:
$h(x)=h_0(log_3lxl) \forall x\neq 0$ (Với $h_0$ tuần hoàn chu kì 1)
Tóm lại: $f(x)=(x+1)h(x+1)$ với $h$ xác định như trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 26-08-2012 - 18:03

[L Lawliet]

...

Cho tui hỏi sao ông nghĩ ra được cách đặt các giá trị đó vậy (mới học nên sr =..=")?

[Crystal]

-Thay $x$ bằng $-1+x$
$(*)\Rightarrow f(3x-1)=3f(x-1)$
-Lấy $f(x-1)=g(x)$ , ta có:
.......

Lời giải này anh xem cũng không hiểu sao lại đặt được vậy. Với lại nó có thiếu tự nhiên không nhỉ.

Đán áp là $f\left( x \right) = k\left( {x + 1} \right),k = c{\rm{ons}}t$.

Hãy tận dụng giả thiết khả vi liên tục trên $\mathbb{R}$ để có một lời giải tốt hơn nào.

[The Gunner]

-Thay $x$ bằng $-1+x$
$(*)\Rightarrow f(3x-1)=3f(x-1)$
-Lấy $f(x-1)=g(x)$ , ta có:
$g(3x)=3g(x)$
-Thay $x=0$ , hiển nhiên $g(0)=0$
-Lấy: $g(x)=xh(x)$
-Theo đó: $h(3x)=h(x)$ ($h(0)$ vô xác định)
-$h$ là một hàm tuần hoàn nhân tính chu kì 3 và liên tục nên:
$h(x)=h_0(log_3lxl) \forall x\neq 0$ (Với $h_0$ tuần hoàn chu kì 1)
Tóm lại: $f(x)=(x+1)h(x+1)$ với $h$ xác định như trên

Lời giải trên sai ở lỗi bôi đỏ ở trên, hàm ko phải là một đa thức nên khi $g(0)=0$ thì ko thể đặt $g(x)=h(x).x$
Ví dụ như $g(x)=\sinx$ thì cũng thỏa mãn $g(0)=0$
Bài này do có điều kiện là khả vi liên tục nên ta sẽ nghĩ đến tính liên tục để kéo về lim, còn tính khả vi là biết được dạng của hàm.
lấy đạo hàm hai vế, áp dụng công thức hàm hợp $[f(g(x))]'=g'(x).f'(g(x)$
do đó khi lấy đạo hàm hai vế rút gọn ta được
$f'(3x+2)=f'(x)$ (1)
thay $x$ bởi $\frac{x-2}{3}$
thì ta có
$f'(x)=f'(\frac{x-2}{3})=...=f(\frac{x-3^n+1}{3^n})$
Cho $n$ đến vô cùng thì suy ra $f'(x)=\lim f(\frac{x-3^n+1}{3^n})=f(-1)=const$
suy ra $f(x)=ax+b$ mà từ (1) cho $x=-1$ thì $f(-1)=0$, nên suy ra a=b
vậy $f(x)=ax+a$ với $a$ là một hằng số thực

[robin997]

Lời giải trên sai ở lỗi bôi đỏ ở trên, hàm ko phải là một đa thức nên khi $g(0)=0$ thì ko thể đặt $g(x)=h(x).x$
Ví dụ như $g(x)=\sinx$ thì cũng thỏa mãn $g(0)=0$
Bài này do có điều kiện là khả vi liên tục nên ta sẽ nghĩ đến tính liên tục để kéo về lim, còn tính khả vi là biết được dạng của hàm.
lấy đạo hàm hai vế, áp dụng công thức hàm hợp $[f(g(x))]'=g'(x).f'(g(x)$
do đó khi lấy đạo hàm hai vế rút gọn ta được
$f'(3x+2)=f'(x)$ (1)
thay $x$ bởi $\frac{x-2}{3}$
thì ta có
$f'(x)=f'(\frac{x-2}{3})=...=f(\frac{x-3^n+1}{3^n})$
Cho $n$ đến vô cùng thì suy ra $f'(x)=\lim f(\frac{x-3^n+1}{3^n})=f(-1)=const$
suy ra $f(x)=ax+b$ mà từ (1) cho $x=-1$ thì $f(-1)=0$, nên suy ra a=b
vậy $f(x)=ax+a$ với $a$ là một hằng số thực

Hình như bạn hiểu nhầm khúc ấy... ta chứng minh $g(0)=0$ để có sự tồn tại của $h$

[The Gunner]

Hình như bạn hiểu nhầm khúc ấy... ta chứng minh $g(0)=0$ để có sự tồn tại của $h$

Cái đó ko đúng bạn à,ko thể đặt $g(x)=x.h(x)$ vì sao bạn biết được$ g(x) $có một nhân tử $x$ trong đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 26-08-2012 - 21:36

[BoFaKe]

Hình như bạn hiểu nhầm khúc ấy... ta chứng minh $g(0)=0$ để có sự tồn tại của $h$

Đơn giản không phải từ đoạn đấy mà là sai từ đầu .
-----------------------------------------------
P/S: 97 nhể