Chủ đề này có 18 trả lời

[899225]

Cho a,b,c>0 và abc=1 CM

Hình gửi kèm

• 

[hoangtrunghieu22101997]

Đặt $x=\frac{1}{a}; y=\frac{1}{b}; z=\frac{1}{c} \rightarrow xyz=1$
Bđt tương đương với
$\A= \frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3xz}{x+z}+\frac{z^3xy}{x+y} \ge \frac{3}{2}$
Thật vậy
$A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \ge \frac{x+y+z}{2} \ge \frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$ tức là $a=b=c=1$

[899225]

Với m,n,p>0 , m+n+p=1

[triethuynhmath]

Với m,n,p>0 , m+n+p=1

$\sum \frac{m}{(n+p)^2}=\sum \frac{m}{(1-m)^2}$
Cauchy 3 số:
$(1-m)^2.2m=(1-m)(1-m)2m\leq (\frac{2-2m+2m}{3})^3=\frac{8}{27}\Rightarrow m(1-m)^2\leq \frac{4}{27}\Rightarrow \frac{m}{(1-m)^2}\geq \frac{27m^2}{9}$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự,cộng vế theo vế:
$\sum \frac{m}{(1-m)^2}\geq \frac{27}{4}(m^2+n^2+p^2)\geq \frac{(m+n+p)^2}{3}.\frac{27}{4}=\frac{9}{4}(Q.E.D)$
P/s:Em cũng rất có nguyện vọng muốn được thi Olympic 30/4 nhưng trường em chỉ tuyển 3 người nên em chắc khó được đi thi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 27-08-2012 - 21:10

[henry0905]

Cho x,y>0 và xy=1
Tìm min của $A=\frac{x^{3}}{1+y}+\frac{y^{3}}{1+x}$
@H.Triết: Ai bảo vô trường pro làm gì? Vô Trần Đại Nghĩa thì khả năng của cậu đi thi là 90% đấy

[triethuynhmath]

Cho x,y>0 và xy=1
Tìm min của $A=\frac{x^{3}}{1+y}+\frac{y^{3}}{1+x}$
@H.Triết: Ai bảo vô trường pro làm gì? Vô Trần Đại Nghĩa thì khả năng của cậu đi thi là 90% đấy

@L.Triết:Bởi vậy nên giờ mới khóc thầm trong đêm khuya (
Thôi tập trung vào chuyên môn:
Cách 1:
$\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\geq \frac{3x}{2}$(Cauchy 3 số)
Tương tự,cộng vế theo vế:
$\sum \frac{x^3}{1+y}\geq \frac{3}{2}(x+y)-\frac{2+x+y}{4}-1=\frac{5(x+y)-2}{4}-1\geq \frac{10-2}{4}-1=1(Q.E.D)$
Cách 2:
Quy đồng mẫu:
$\frac{x^4+y^4+x^3+y^3}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{2x^2y^2+(x+y)(x^2+y^2-xy)}{x+y+2}\geq \frac{2+(x+y)(2xy-xy)}{x+y+2}=\frac{x+y+2}{x+y+2}=1(Q.E.D)$$\frac{x^4+y^4+x^3+y^3}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{2x^2y^2+(x+y)(x^2+y^2-xy)}{x+y+2}\geq \frac{2+(x+y)(2xy-xy)}{x+y+2}=\frac{x+y+2}{x+y+2}=1(Q.E.D)$
Dấu = xảy ra khi $x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 27-08-2012 - 21:29

[899225]

Cho

Hình gửi kèm

• 

[899225]

Phiên bản mới mẽ hơn đây

Học lớp Tin chán thật nếu như ban đầu mình mạnh dạn chọn toán là tốt rồi .

Hình gửi kèm

• 

[Poseidont]

$BDT\Leftrightarrow \sum m.\sum \frac{m}{(n+p)^2}\geq \frac{9}{4}$
Ta có
$\sum m.\sum \frac{m}{(n+p)^2}\geq (\sum \frac{m}{n+p})^2\geq (\frac{3}{2})^{2}=\frac{9}{4}$
Theo $ Cauchy-Schwarz va Nesbit$

[899225]

(Đề thi VNMO)

[chrome98]

Cho $a+b+c=0$. Chứng minh rằng: $8^a+8^b+8^c\geq 2^a+2^b+2^c$.

Giải: Ta có: $8^a+8^a+8^a+8^a+8^a+8^b+8^b+8^c+8^c\geq 9\sqrt[9]{2^{15a+6b+6c}}=9\sqrt[9]{2^{9a}}=9\cdot 2^a$
Cộng bất đẳng thức trên với $2$ bất đẳng thức tương tự, $đpcm, đt\leftrightarrow a=b=c=0$.

[Poseidont]

Sử dụng AM-GM :$\frac{x_{n}}{1+x_{n}}={}\frac{1}{1+x_{1}}+...+\frac{1}{1+x_{n-1}}\geq (n-1)\sqrt[n-1]{\frac{1}{\prod (1+x_{n-1})}}$
Xây dựng các BĐT tuơng tự nhân lại với nhau ta có Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 29-08-2012 - 15:41

[899225]

Bài đây anh em chém nhanh

Hình gửi kèm

• 

[899225]

Anh em chém tiếp đi

Hình gửi kèm

• 

[Ispectorgadget]

Anh em chém tiếp đi

Đề bài viết chả rõ gì cả. :S Mong bạn gõ Latex cho tiện trao đổi.

[triethuynhmath]

Cho

Chém bài này:
Cauchy 3 số:
$8^a+1+1\geq 3\sqrt[3]{8^a}=3.2^a$
Thiết lập tương tự,kết hợp với:
$8^a+8^b+8^c\geq 3\sqrt[3]{8^{a+b+c}}=3\Rightarrow 3(8^a+8^b+8^c)\geq 3(2^a+2^b+2^c)\Rightarrow (Q.E.D)$

[triethuynhmath]

(Đề thi VNMO)

Câu này:
$\frac{1}{1+x_{2}}+...+\frac{1}{1+x_{n}}=\frac{x_{1}}{1+x_{1}}\geq \frac{n-1}{\sqrt[n-1]{(1+x_{2})...(1+x_{n})}}$(Cauchy $n-1$ số)
Thiết lập tương tự nhân vế theo vế(n lần):
$\frac{x_{1}x_{2}...x_{n}}{(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n})}\geq \frac{(n-1)^n}{(1+x_{1})(1+x_{2}....)(1+x_{n})}\Rightarrow Q.E.D$

[899225]

[899225]