Chủ đề này có 2 trả lời

[sieutoan99]

Cho a,b,c là các số thực dương.CMR:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{9abc}{\left ( a+b+c \right )\left ( ab+bc+ca \right )}\geq 4$
P/s:Ai làm đc theo S.O.S thì mình thank nhìu không thì cách khác cũng đc.

[Poseidont]

Bài này dùng được SOS
Ta có các điều sau
$\sum \frac{a}{b}= \sum \frac{a^2}{ab}\geq \frac{\sum (a)^2}{\sum ab}$
$\sum a.\sum ab-9abc=\sum a(b-c)^2$
BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{\sum (a)^2}{\sum ab}-3\geq \frac{\sum a(b-c)^2}{\sum a.\sum ab}$
$\Leftrightarrow \frac{ \frac{1}{2}\sum (a-b)^2}{\sum ab}\geq \frac{\sum a(b-c)^2}{\sum a.\sum ab}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum a}{2}.\sum (a-b)^2\geq \sum a(b-c)^2$
Đến đây xét theo tiêu chuẩn SOS là ra, ^^ (lười)

[BoBoiBoy]

Ta có:$(\frac{ab^{2}}{c}+ac)+(\frac{bc^{2}}{a}+ab)+(\frac{ca^{2}}{b} +bc)\geq 2(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow \frac{ab^{2}}{c}+\frac{bc^{2}}{a}+\frac{ca^{2}}{b}\geq ab+bc+ca$
$\Rightarrow(ab+bc+ca)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab^{2}}{c}+\frac{bc^{2}}{a}+\frac{ca^{2}}{b}+ ab+bc+ca\geq (a+b+c)^{2}$
$\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}$
Ta sẽ cm:$\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{9abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq4$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^{3}+9abc\geq 4(ab+bc+ca)(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$(đúng theo Schur)