Chủ đề này có 39 trả lời

[E. Galois]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 31/08/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 2 có 30 toán thủ tham gia nên sau trận này, 05 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

[E. Galois]

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Toán thủ ra đề
nguyenhang28091996

[minh29995]

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Toán thủ ra đề
nguyenhang28091996

Phương trình đã cho tương đương với:
$4sin^2x+2(1+\sqrt{3})sinx.cosx+(1+\sqrt{3})(cos^2x-sin^2x)=2(cosx+\sqrt{3}sinx)$
$\Leftrightarrow (cosx+\sqrt{3}sinx)[(\sqrt{3}-1)sinx+(\sqrt{3}+1)cosx-2]=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} tanx=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ sin(x+\frac{5\pi}{12})=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\\ x=\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{bmatrix}$
($k\in Z$)
Kết luận: PT đã cho có nghiệm là:
$x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$ và $x=\frac{\pi}{3}+k2\pi$ ($k\in Z$)

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$

S = 52 - 0 + 3.10 + 7 + 4 + 0 = 93

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:47
Ghi điểm

[kphongdo]

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Toán thủ ra đề
nguyenhang28091996

Lời giải của kphongdo:
Ta có:
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(\sqrt{2}\sin x \cos x + \sqrt{2} \cos^2 x-\frac{\sqrt{2}}{2})=2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x-\sin ^2x)$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(\sqrt{2}\sin x \cos x + \sqrt{2} \cos^2 x-\frac{\sqrt{2}}{2})-2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x-\sin ^2x)=0$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(\sqrt{2}\sin x \cos x + \sqrt{2} \cos^2 x-\frac{\sqrt{2}}{2})-2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x-\sin ^2x)=(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2})(\sin ^2x+\cos^2 x-1)$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}(1+\sqrt{3})(\cos x+\sqrt{3} \sin x)(\cos x+(2-\sqrt{3}) \sin x+1-\sqrt{3})=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
\cos x+\sqrt{3} \sin x =0\\
\cos x+(2-\sqrt{3}) \sin x+1-\sqrt{3}=0
\end{bmatrix}$$
Xét $\cos x+\sqrt{3} \sin x =0 \Leftrightarrow \cos x=-\sqrt{3} \sin x$
Do $\sin ^2x+\cos^2x=1$ nên từ đó ta được $3 \sin^2 x+\sin ^2x=1\Leftrightarrow 4\sin ^2x=1 \Leftrightarrow \sin x=\pm \frac{1}{2}$
(thỏa mãn điều kiện)
Từ đó ta được $x=2 \pi n+\frac{\pi}{6}$ hoặc $x=2 \pi n+\frac{5\pi}{6}$ hoặc $x=2 \pi n-\frac{\pi}{6}$ hoặc $x=2 \pi n+\frac{7\pi}{6}$
(Với $n$ nguyên)
Xét $\cos x+(2-\sqrt{3}) \sin x+1-\sqrt{3}=0$ ta được: $\cos x=(\sqrt{3}-2) \sin x+\sqrt{3}-1$
Do $\sin ^2x+\cos^2x=1$ nên từ đó ta được $((\sqrt{3}-2) \sin x+\sqrt{3}-1)^2+\sin^2 x=1\Leftrightarrow (2-\sqrt{3})(1+2\sin x)(2 \sin x-\sqrt{3})=0 \Leftrightarrow \sin x =\frac{-1}{2}$ hoặc $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ĐOẠN TÔ MÀU (TRÊN VÀ DƯỚI) ĐÃ CHO TA ĐI ĐẾN MỘT PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ.
(thỏa mãn điều kiện)

Từ đó ta được $x=2 \pi n+\frac{2\pi}{3}$ hoặc $x=2 \pi n+\frac{1\pi}{3}$ hoặc $x=2 \pi n-\frac{\pi}{6}$ hoặc $x=2 \pi n+\frac{7\pi}{6}$
(Với $n$ nguyên)
_________________
Tóm lại phương trình lượng giác có nghiệm:
$x=2 \pi n+\frac{\pi}{6}$ hoặc $x=2 \pi n+\frac{5\pi}{6}$ hoặc $x=2 \pi n+\frac{2\pi}{3}$ hoặc $x=2 \pi n+\frac{1\pi}{3}$ hoặc $x=2 \pi n-\frac{\pi}{6}$ hoặc $x=2 \pi n+\frac{7\pi}{6}$
(Với $n$ nguyên)

$$\boxed{\boxed{Điểm: 6}}$$

S = 52 - 0 + 3.6 + 0 + 0 = 70

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:37
Ghi điểm

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

Phương trình tương đương:
$(1 + \sqrt{3})\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin{2x} + \cos{2x}) = 2\sqrt{2}[\cos{x}\cos{\dfrac{\pi}{3}} + \sin{x}\sin{\dfrac{\pi}{3}} - \sin^2{x}]$

$\Leftrightarrow \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(\sin{2x} + \cos{2x}) = 2\left(\dfrac{1}{2}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin{x} - \sin^2{x}\right)$

$\Leftrightarrow (\sqrt{3} + 1)(\sin{2x} + \cos{2x}) = 2\cos{x} + 2\sqrt{3}\sin{x} - 4\sin^2{x}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{3} + 1)\cos^2{x} + 2(\sqrt{3} + 1)\sin{x}\cos{x} + (3 - \sqrt{3})\sin^2{x} = 2(\cos{x} + \sqrt{3}\sin{x})$

$\Leftrightarrow (\cos{x} + \sqrt{3}\sin{x}).\left[(\sqrt{3} + 1)\cos{x} + (\sqrt{3} - 1)\sin{x} - 2\right] = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\cos{x} = -\sqrt{3}\sin{x} \, (1)\\(\sqrt{3} + 1)\cos{x} + (\sqrt{3} - 1)\sin{x} = 2 \, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
$(1) \Leftrightarrow \tan{x} = \dfrac{-1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \dfrac{- \pi}{6} + k\pi \, (k \in Z)$

Ta lại có:

$(2) \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}\cos{x} + \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \,\, (3)$

Chú ý: $\sin{15} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos{30}}{2}} = \sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$

Do đó:
$(3) \Leftrightarrow \cos{\dfrac{\pi}{12}}\cos{x} + \sin{\dfrac{\pi}{12}}\sin{x} = \cos{\dfrac{\pi}{4}}$

$\Leftrightarrow \cos{(x - \dfrac{\pi}{12})} = \cos{\dfrac{\pi}{4}}$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x - \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\\x - \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{-\pi}{4} + 2k\pi\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\\x= \dfrac{-\pi}{6} + 2k\pi\end{array}\right.$

Vậy, phương trình có nghiệm: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ và $x = \dfrac{- \pi}{6} + k\pi$ với $k \in Z$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$

S = 52 - 1 + 3x10 + 5 + 0 = 86

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:44
Ghi điểm

[NGOCTIEN_A1_DQH]

MHS 09 - NGOCTIEN_A1_DQH giải bài: ( lời giải trên bị sai, nhờ trọng tài xóa giùm, em chấp nhận lời giải này)

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Toán thủ ra đề
nguyenhang28091996

$ PT \Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}(sin2x+cos2x)=\sqrt{2}[cosx+\sqrt{3}sinx+1-2sin^2x-1] $

$ \Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x+(1+\sqrt{3})cos2x=2(cosx+\sqrt{3}sinx+cos2x-1) $

$ \Leftrightarrow \frac{1+\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}-1}{2}cos2x=cosx+\sqrt{3}sinx-1 $

$ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x=2(\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx)-1 $

$ \Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi}{6})+sin(2x+\frac{\pi}{3})=2sin(x+\frac{\pi}{6})-1 $

$ \Leftrightarrow sin(2x-\frac{\pi}{6})+sin\frac{\pi}{2}+sin(2x+\frac{\pi}{3})=2sin(x+\frac{\pi}{6}) $

$ \Leftrightarrow 2sin(x+\frac{\pi}{6})cos(x-\frac{\pi}{3})+2cos(x+\frac{\pi}{6})sin(x+\frac{\pi}{6})=2sin(x+\frac{\pi}{6}) $

$ \Leftrightarrow sin(x+\frac{\pi}{6})=0 \vee cos(x-\frac{\pi}{3})+cos(x+\frac{\pi}{6})=1 $

*) $ sin(x+\frac{\pi}{6})=0 $

$ \Leftrightarrow x+\frac{\pi}{6}=k\pi $

$ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k\pi $ với $ k \in \mathbb{Z} $

*)$ cos(x-\frac{\pi}{3})+cos(x+\frac{\pi}{6})=1$

$ \Leftrightarrow sin(x+\frac{\pi}{6})+cos(x+\frac{pi}{6})=1$

$ \Leftrightarrow sin(x+\frac{5\pi}{12})=\frac{1}{\sqrt{2}} $

$ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{6}+m.2\pi \vee x=\frac{\pi}{3}+n.2\pi $ với $ m,n \in \mathbb{Z} $

vì nghiệm $ x=-\frac{\pi}{6}+m.2\pi $ và $x=-\frac{\pi}{6}+k\pi $ nên phương trình có các họ nghiệm là:

$ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi $ và $x=\frac{\pi}{3}+n.2\pi $ với $ k, n \in \mathbb{Z} $

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$
S = 52 - 1 + 3.10 + 0 + 0 = 81

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:38
Ghi điểm

[sogenlun]

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Phương trình tương đương với :
$$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} . (\sin 2x +\cos 2x) = \cos (x-\dfrac{\pi}{3}) + \dfrac{\cos 2x -1}{2} $$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.\sin 2x + \left ( \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right ).\cos 2x = \sqrt{2}.\cos (x-\dfrac{\pi}{3}) - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\Leftrightarrow \cos 2x.\cos \dfrac{5\pi}{12} + \sin 2x. \sin \dfrac{5\pi}{12} = \sqrt{2}.\cos (x-\dfrac{\pi}{3}) - \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\Leftrightarrow \cos (2x -\dfrac{5\pi}{12}) + \cos \dfrac{\pi}{4} = \sqrt{2}. \cos (x-\dfrac{\pi}{3})$$
$$\Leftrightarrow 2\cos (x-\dfrac{\pi}{12}).\cos (x-\dfrac{\pi}{3}) = \sqrt{2}.\cos (x-\dfrac{\pi}{3})$$
Đến đây xảy ra 2 trường hợp :
$\bullet \,\ \cos (x-\dfrac{\pi}{3})=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{5\pi}{6} + k\pi \,\ (k \in \mathbb{Z})$

$\bullet \, \cos (x-\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi \vee x=\dfrac{-\pi}{6}+k2\pi \,\ (k \in \mathbb{Z})$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm: $$x=\dfrac{5\pi}{6} + k\pi $$
$$x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
$$x=\dfrac{-\pi}{6}+k2\pi$$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$
S = 52 - 1 + 3.10 + 0 + 0 = 81

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:38
Ghi điểm

[Oh Yeah]

Ối bài trước em nhầm 1 tý

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Toán thủ ra đề
nguyenhang28091996

PT$\Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )sin\left ( 2x+\dfrac{\pi }{4} \right )=\sqrt{2}cos\left ( x-\dfrac{\pi}{3} \right )-\sqrt{2}sin^2x\\
\Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )(cos2x+sin2x)=2cos\left ( x-\dfrac{\pi}{3} \right )-2sin^2x\\
\Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )(cos2x+sin2x)= 2cos\left ( x-\dfrac{\pi}{3} \right ) -(1-cos2x)\\
\Leftrightarrow \left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2} \right )cos2x+\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2} \right )sin2x=2cos\left ( x-\dfrac{\pi}{3} \right )-1\\
\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x-\dfrac{1}{2}cos2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\dfrac{1}{2}sin2x=2cos\left ( x-\dfrac{\pi}{3} \right )-1.\\
\Leftrightarrow cos2xcos\dfrac{\pi}{6}+sin2xsin\dfrac{\pi}{6}-cos\dfrac{\pi}{3}cos2x+sin\dfrac{\pi}{3}sin2x=2cos\left ( x-\dfrac{\pi}{3} \right )-1\\
\Leftrightarrow cos (2x-\dfrac{\pi}{6})-cos(2x+\dfrac{\pi}{3})=2cos(x-\dfrac{\pi}{3})-1 (1)$

Đặt$x-\dfrac{\pi}{3}=t \Rightarrow x=t+\dfrac{\pi}{3}$Thay vào pt $(1) $ta được:

$cos(2t+\dfrac{\pi}{2})-cos(2t+\pi)=2cost-sint^2t-cos^2t\\
-sin2t+cos2t=2cost-sin^2t-cos^2t\\
\Leftrightarrow -2sintcost+(cos^2t-sin^2t)=2cost-sin^2t-cos^2t\\
\Leftrightarrow 2cos^2t-2sintcost-2cost=0\\
\Leftrightarrow 2cost(cost-sint-1)=0

\begin{bmatrix}
cost=0\\
cost-sint=1

\end{bmatrix}$


TH1: $cost=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi(k\in \mathbb{Z} )\Leftrightarrow x= \dfrac{5\pi}{6}+k\pi(k\in \mathbb{Z} )$
TH2:$cost-sint=1 \Leftrightarrow cos(t+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
\Leftrightarrow\begin{bmatrix} t = l2\pi \\ t = - \dfrac{\pi}{2}+l2\pi \end{bmatrix} (l\in \mathbb{Z})\\
\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \dfrac{\pi}{3}+l2\pi \\ x = - \dfrac{\pi}{6}+l2\pi \end{bmatrix} (l\in \mathbb{Z})\\$
Vậy phương tình có 3 họ nghiệm $x= ({\dfrac{5\pi}{6}+k\pi;\dfrac{\pi}{3}+l2\pi; -\dfrac{\pi}{6}+l2\pi; k,l \in \mathbb{Z}})$ Cách ghi nghiệm?

$$\boxed{\boxed{Điểm: 9.5}}$$
S = 52 - 2 + 3.9,5 + 0 + 0 = 78.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:42
Ghi điểm

[minh29995]

Mở rộng:
Tổng quát cho bài toán trên:
Với các phương trình dạng như trên ta luôn đưa được về phương trình bậc 2 với sinx và cos x dạng:
$asin^2x+bsinx+dcos^2x+ecosx+fsinx.cosx=0$ Nên mở rộng với VP là một hằng số g chẳng hạn.
khi đo ta coi 1 biến là ẩn (sinx) và biến còn lại la tham số. ta được phương trình bậc 2 với sinx dạng:
$asin^2x+(b+fcosx)sinx+dcos^2x+ecosx=0$
$\Delta= b^2+f^2cos^2x-4da.cos^2x-4ea.cosx=(f^2-4da)cos^2x-4ea.cosx+b^2$
Khi đó nếu $\Delta >0$ thì ta được:
$\begin{bmatrix} sinx=\frac{-b-fcosx+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ sinx=\frac{-b-fcosx+\sqrt{\Delta}}{2a} \end{bmatrix}$
(Với những bài dạng như trên ta thường tìm được $\Delta$ là chính phương - chính xác hơn là: bình phương của một số (biểu thức)!)
khi đó ta đưa được về phương trình bậc nhất và giải bình thường.
Với bài toán trên:
Phương trình đã cho đưa về dạng:
$(3-\sqrt{3})sin^2x+2[(1+\sqrt{3})cosx-\sqrt{3}]sinx+(1+\sqrt{3})cos^2x-2cosx$
Ta có:
$\Delta'=4cos^2x-4\sqrt{3}cosx+3=(2cosx+\sqrt{3})^2$ (Chính phương)
Do đó:
$\begin{bmatrix} sinx=-\frac{cosx}{\sqrt{3}}\\ sinx=\frac{2-(\sqrt{3}+1)cosx}{\sqrt{3}-1} \end{bmatrix}$
Và bài toán đưa về bài toán bậc nhất!

$\boxed{Điểm mở rộng: 7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-09-2012 - 15:47

[sogenlun]

Em xin trình bày cách khác như sau :
Cách 2:
Phương trình đã cho tương đương với :
$$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}.\sin (2x+\dfrac{\pi}{4}) = \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) + \dfrac{\cos 2x -1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \sin \dfrac{5\pi}{12} .\sin (2x+\dfrac{\pi}{4}) = \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) + \dfrac{\cos 2x -1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}. \left [ \cos (2x -\dfrac{\pi}{6}) - \cos (2x+\dfrac{2\pi}{3}) \right ] = \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) + \dfrac{\cos 2x -1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\left [ \sin (2x +\dfrac{\pi}{3}) + \cos (2x-\dfrac{\pi}{3}) \right ] = \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) + \dfrac{\cos 2x -1}{2}$$
$$ \Leftrightarrow \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) . \cos (x+\dfrac{\pi}{6}) - \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) = \dfrac{\cos 2x - \cos (2x-\dfrac{\pi}{3})}{2} -\dfrac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) \left [\cos (x+\dfrac{\pi}{6}) -1 \right ]= -\sin \dfrac{\pi}{6}.\sin (2x -\dfrac{\pi}{6}) -\dfrac{1}{2} $$
$$ \Leftrightarrow \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) \left [\cos (x+\dfrac{\pi}{6}) -1 \right ]=\dfrac{\cos (2x+\dfrac{\pi}{3}) -1}{2} $$
$$ \Leftrightarrow \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) \left [\cos (x+\dfrac{\pi}{6}) -1 \right ]= -\sin^2 (x+\dfrac{\pi}{6}) $$
Xảy ra 2 trường hợp :
$\bullet \,\ \sin (x+\dfrac{\pi}{6}) =0 \Leftrightarrow x = \dfrac{-\pi}{6} + k\pi \,\ (k\in \mathbb{Z})$
$\bullet \,\ \cos (x+\dfrac{\pi}{6})+\sin (x+\dfrac{\pi}{6}) =1 \Leftrightarrow \sqrt{2}.\sin (x+\dfrac{5\pi}{12}) = 1 $
$$ \Leftrightarrow \sin (x+\dfrac{5\pi}{12}) =\dfrac{1}{\sqrt{2}} $$
$$\Leftrightarrow x+ \dfrac{5\pi}{12}= \dfrac{\pi}{4} +k2\pi \vee x+ \dfrac{5\pi}{12}= \dfrac{3\pi}{4} +k2\pi $$
(với $k\in \mathbb{Z}$)
$$ \Leftrightarrow x= \dfrac{-\pi}{6} +k2\pi \vee x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi $$
Kết hợp lại , phương trình đã cho có các họ nghiệm :
$$ x = \dfrac{-\pi}{6} + k\pi $$
$$ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (k \in \mathbb{Z})$$
$$ x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi $$

CD13 không nghĩ đây là một cách khác so với lời giải trên của bạn. Bạn cũng sử dụng đến $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\sin \frac{5\pi}{12}$ ở cả 2 lời giải và đều sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng, có khác chăng là kỹ năng biến đổi khác nhau một chút. Hãy là một cách khác với một phương pháp hoàn toàn khác!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-09-2012 - 15:22

[dangerous_nicegirl]

Phương trình$\Leftrightarrow$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(\sin(2x)+ \cos(2x))=4(\frac{\cos(x)}{2}+\frac{\sqrt{3}\sin (x)}{2}-\sin^{2}(x) )$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(2sin(x)cos(x)+cos^{2}-sin^{2}(x))+4\sin ^2(x)=2(\cos (x)+\sqrt{3}sin(x))$
$\Leftrightarrow 2(1+\sqrt{3})(sin(x)cos(x))+(1+\sqrt{3})\cos ^{2}(x)-(1+\sqrt{3})\sin ^{2}(x)+4\sin ^{2}(x)$\Leftrightarrow 2\sqrt{3}sin(x)cos(x)+cos ^{2}(x)+3\sin ^{2}(x)+\sqrt{3}cos ^{2}(x)+ 2sin(x)cos(x)-\sqrt{3}\sin ^{2}(x)=0$$
-$\Leftrightarrow (\cos (x)+\sqrt{3}\sin (x))^{2}+(\sqrt{3}\cos (x)-\sin (x))(\cos (x)+\sqrt{3}\sin (x))-2(\cos (x)+\sqrt{3}\sin (x))=0$
$\Leftrightarrow $\cos (x)+\sqrt{3}\sin (x)=0$(\cos x+\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sin x-2)=0$$\Leftrightarrow$
TH1:$\cos (x)+\sqrt{3}\sin (x)=0$\Leftrightarrow \cos (x-\frac{\Pi }{3})=0\Leftrightarrow x= \frac{5\Pi }{6}+k\Pi (k\in Z)$
TH2$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})\cos x+(\sqrt{3}-1)(\sin x)=2\Leftrightarrow \frac{(1+\sqrt{3})}{8}\cos x+\frac{(\sqrt{3}-1)}{8}\sin x=\frac{1}{4}$
Đặt

$\frac{(1+\sqrt{3})}{8}$=cos$\alpha$$\frac{\sqrt{3}-1}{8}$=sin$\alpha$
Khi đó cos(x-$\alpha$)=$\frac{1}{4}$$\Leftrightarrow x=\pm \arccos \frac{1}{4}+k2\Pi$

Bài này CD13 không muốn sửa phần $Latex$ để thí sinh thấy lỗi của mình.
Thêm nữa, tiếc là thí sinh không thấy được $\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\sin \frac{5\pi}{12}$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 8.5}}$$
S = 52 - 2 + 3.8,5 + 0 + 0 = 75.5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:41
Ghi điểm

[Oh Yeah]

Em xin bổ xung phần mở rộng:
Mở rộng 1: (Cái này gọi là mở rộng thì cũng hơi qua đáng ) Nếu trong phương trình lượng giác có sự xuất hiện các hằng số$ \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ta thường nghĩ ngay đến các giá trị lượng giác của các góc $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}$ , rồi thế vào pt để biến đổi
Mở rộng 2: Đối với một số phương trình lượng giác không mẫu mực có sự xuất hiện của đại lượng $sin(x-\varphi )(Hoặc cos( x-\varphi ))$, ta thường đặt $t= x-\varphi \Rightarrow x=t+\varphi$ và định hướng biến đổi các hàm số lượng giác còn lại về dạng$ sin\left ( \pm n\left ( x+\varphi \right ) +\alpha \right )$ (hoặc$cos\left ( \pm n\left ( x+\varphi \right ) +\alpha \right )$)$(n=\pm1, \pm 2, \pm 3 ...)$ Hay chính là $sin\left ( \pm nt+\alpha \right )$(Hoặc $cos\left ( \pm nt+\alpha \right )$) sao cho $\alpha$ là các giá trị đặc biệt như $\pm\dfrac{\pi}{2}, (2k+1)\pi , (2k+2)\pi (k \in \mathbb{Z}) .........$. rồi đưa các hàm này về các giá trị lượng giác $sin(\pm nt)$ (hoặc $cos(\pm nt)$) rồi dùng các công thức nhân đôi, nhân ba ....... để đưa về các hàm của $sint$ và $cost$ để giải..

Nói thật, cái "mở rộng" này CD13 thấy nghi ngờ về tính khả thi của nó quá. Nếu em có thể trình bày thêm một vài ví dụ để thể hiện ý tưởng trên thì hay hơn! Điểm mở rộng: không cho!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-09-2012 - 15:27

[hoangtrong2305]

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})\sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [\cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-\sin^{2}x \right ]$$

$(1+\sqrt{3})\sin (2x + \frac{\pi}{4} )=2\sqrt{2} [\cos (x-\frac{\pi}{3} )-\sin^{2}x ]$

$\Leftrightarrow \frac{(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}}\sin (2x + \frac{\pi}{4} )= \cos (x-\frac{\pi}{3} )-\sin^{2}x$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{5 \pi}{12})\sin (2x + \frac{\pi}{4} )= \cos (x-\frac{\pi}{3} )-\sin^{2}x$

$\Leftrightarrow -2\sin (\frac{5 \pi}{12})\sin (2x + \frac{\pi}{4} )= -2\cos (x-\frac{\pi}{3} )+2\sin^{2}x$

$\Leftrightarrow \cos(2x+\frac{2 \pi}{3})-\cos(\frac{\pi}{6}-2x)= -2\cos (x-\frac{\pi}{3} )+1-\cos 2x$

$\Leftrightarrow \cos(2x+\frac{2 \pi}{3})+\cos 2x-\cos(\frac{\pi}{6}-2x)= -2\cos (x-\frac{\pi}{3} )+1$

$\Leftrightarrow 2\cos(2x+\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3})-\cos(\frac{\pi}{6}-2x)= -2\cos (x-\frac{\pi}{3} )+1$

$\Leftrightarrow \cos(2x+\frac{\pi}{3})-\cos(\frac{\pi}{6}-2x)= -2\cos (x-\frac{\pi}{3} )+1$

$\Leftrightarrow -2\sin(\frac{\pi}{4})\sin(2x+\frac{\pi}{12})= -2\cos (x-\frac{\pi}{3} )+1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{12})= 2\cos (x-\frac{\pi}{3} )-1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin[(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{\pi}{4}]= 2\cos (x-\frac{\pi}{3} )-1$

$\Leftrightarrow \sin(2x+\frac{\pi}{3})-\cos(2x+\frac{\pi}{3})= 2\cos (x-\frac{\pi}{3} )-1$

$\Leftrightarrow \sin(\frac{2\pi}{3}-2x)+\cos(2x-\frac{2\pi}{3})= 2\cos (x-\frac{\pi}{3} )-1$

$\Leftrightarrow 2\sin(\frac{\pi}{3}-x)\cos(x-\frac{\pi}{3})+2\cos^{2}(x-\frac{\pi}{3})-2\cos (x-\frac{\pi}{3} )=0$

$\Leftrightarrow \sin(\frac{\pi}{3}-x)\cos(x-\frac{\pi}{3})+\cos^{2}(x-\frac{\pi}{3})-\cos (x-\frac{\pi}{3} )=0$

$\Leftrightarrow \cos(x-\frac{\pi}{3})[\sin(\frac{\pi}{3}-x)+\cos(\frac{\pi}{3}-x)-1]=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos(x-\frac{\pi}{3})=0\\ \sin(\frac{\pi}{3}-x)+\cos(\frac{\pi}{3}-x)=1 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{5\pi}{6}+k \pi\\ \sqrt{2}\sin(\frac{7\pi}{12}-x)=1 \end{bmatrix};k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{5\pi}{6}+k \pi\\ \sin(\frac{7\pi}{12}-x)=\sin(\frac{\pi}{4}) \end{bmatrix};k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{5\pi}{6}+k \pi\\ x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi \end{bmatrix};k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{5\pi}{6}+k \pi\\ x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ \end{bmatrix};k \in \mathbb{Z}$

Kết luận: Phương trình có $2$ họ nghiệm:

$$\boxed{\begin{bmatrix} x=\frac{5\pi}{6}+k \pi\\ x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ \end{bmatrix};k \in \mathbb{Z}}$$

[font='times new roman', ', times, serif} ']$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$[/font]
S = 52 - 3 + 3x10 + 0 + 0 = 79

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:43

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Mở rộng: (Sự thay đổi hệ số của các biểu thức lượng giác)
Giải phương trình:
$(a + b)\sin{(2x + \dfrac{\pi}{4})} = \sqrt{2(a^2 + b^2)}\left[\cos{(x - \alpha)} - m\sin^2{x}\right]$

với $\left[\begin{array}{l}\sin{\alpha} = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\\cos{\alpha} = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{array}\right.$

và $m = \dfrac{b^3 + ba^2 + 3b^2a - a^3}{2b^2\sqrt{a^2 + b^2}}\,(b \neq 0)$

(Giải tương tự nếu biểu thức phía sau là $m\cos^2{x}; m\sin{x}\cos{x}$ - giá trị của m sẽ khác)

Giải

Phương trình trên tương đương:
$\dfrac{\sqrt{2}(a + b)}{2}\left(\sin{2x} + \cos{2x}\right) = \sqrt{2(a^2 + b^2)}(\cos{x}\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \sin{x}\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} - m\sin^2{x})$

$\Leftrightarrow (a + b)\cos^2{x} + 2(a + b)\sin{x}\cos{x} - (a + b)\sin^2{x} = 2b\cos{x} + 2a\sin{x} - 2m\sqrt{a^2 + b^2}\sin^2{x}$

$\Leftrightarrow (a + b)\cos^2{x} + 2(a + b)\sin{x}\cos{x} + (2\dfrac{b^3 + ba^2 + 3b^2a - a^3}{2b^2\sqrt{a^2 + b^2}}.\sqrt{a^2 + b^2} - a - b)\sin^2{x} = 2b(\cos{x} + \dfrac{a}{b}\sin{x})$

$\Leftrightarrow (a + b)\cos^2{x} + 2(a + b)\sin{x}\cos{x} + \dfrac{2ab^2 + a^2b - a^3}{b^2}\sin^2{x} = 2b(\cos{x} + \dfrac{a}{b}\sin{x})$

$\Leftrightarrow (\cos{x} + \dfrac{a}{b}\sin{x})\left[(a + b)\cos{x} + \dfrac{2b^2 + ab - a^2}{b}\sin{x} - 2b\right] = 0$

Cả 2 phương trình suy ra đều là phương trình cơ bản.

Bài toán MHS2 áp dụng với $a = \sqrt{3}; b = 1; m = 1$

Bài toán này đúng là "rộng hơn" bài toán MHS2, nhưng thật ra cũng chưa rộng lắm vì điều kiện ràng buộc quá nhiều chỗ hệ số, góc $\alpha$$, hệ số $m$ nên ta có thể hiểu đây là bài toán tổng quả hơn tí mà thôi.
$$\boxed{\boxed{Điểm mở rộng: 5}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-09-2012 - 15:34

[lordsky216]

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Toán thủ ra đề
nguyenhang28091996

Lordsky 216 xin giải đề :
$$PT\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(sin2x + cos 2x)=4 [\frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx -\frac{1-cos2x}{2}]$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x+(1+\sqrt{3})cos2x=2cosx+2\sqrt{3}sinx -2 +2cos2x$$
$$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x+(\sqrt{3}-1)cos2x=2cosx+2\sqrt{3}sinx -2$$
$$\Leftrightarrow (2-cos2x+\sqrt{3}sin2x)+sin2x+\sqrt{3}cos2x=2(cosx+\sqrt{3}sinx)$$
$$\Leftrightarrow (3sin^2x+2\sqrt{3}sinxcosx+cos^2x)+ 2 sinx cosx+\sqrt{3}cos^2x-\sqrt{3}sin^2x=2(cosx +\sqrt{3}sinx)$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)^2-2(\sqrt{3}sinx+cosx)+\sqrt{3}cos^2x-3\sqrt{3}sin^2x+2sinx(\sqrt{3}sinx+cosx)=0$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)^2-2(\sqrt{3}sinx+cosx)+\sqrt{3}(cosx-\sqrt{3}sinx)(\sqrt{3}sinx+cosx)+2sinx(\sqrt{3}sinx+cosx)=0$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{3}sinx+cosx)(\sqrt{3}sinx+cosx-2+\sqrt{3}cosx-3sinx+2sinx)=0$$
$$\begin{bmatrix}
\sqrt{3}sinx+cosx=0 (1) & \\ \sqrt{3}sinx-sinx+cosx+\sqrt{3}cosx-2=0(2)
&
\end{bmatrix}$$


Xét
$$(1)\Leftrightarrow sin(x+\frac{\Pi}{6} )=0
\Leftrightarrow x+\frac{\Pi}{6}=k\Pi(k \in \mathbb{Z})\Leftrightarrow x=\frac{-\Pi}{6}+k\Pi$$

Xét

$$(2)\Leftrightarrow (\sqrt{3}-1)sinx+(\sqrt{3}+1)cosx=2$$
$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}sinx+\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
GỌi $cos\alpha =\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$, $ sin\alpha =\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

CÓ:
$$(2)\Leftrightarrow sinx.cos\alpha +cosx.sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}2{}$$

$$\Leftrightarrow sin(x+\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$ \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x+\alpha =\frac{\Pi}{4}+k2\Pi & \\ x+\alpha=\frac{3\Pi}{4} +k2\Pi
&
\end{bmatrix}$$


Vậy $\begin{bmatrix}
x=\frac{-\pi}{6}+k\pi & \\ x=-\alpha +\frac{3\Pi}{4}+k2\Pi
& \\ x=-\alpha +\frac{\pi}{4}+k2\pi
&
\end{bmatrix}$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 9}}$$
Toán thủ này đã bị loại từ vòng 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:45

[chagtraife]

ta có:$pt\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(\sin 2x+\cos 2x)=4\left [ \cos (x-\frac{\pi }{3})-\sin ^{2}x \right ] $
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(\sin 2x+\cos 2x)+4\sin ^{2}x=4\cos (x-\frac{\pi }{3}) $
$\Leftrightarrow (3-\sqrt{3})\sin ^{2}x+2(1+\sqrt{3})\sin x\cos x+(1+\sqrt{3})\cos ^{2}x=2(\cos x+\sqrt{3}\sin x)$
$\Leftrightarrow (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}\sin x+\cos x)(\sin x+(2+\sqrt{3})\cos x)=2(\cos x+\sqrt{3}\sin x)$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x+\cos x=0 hoặc (\sqrt{3}-1)(\sin x+(2+\sqrt{3})\cos x)=2 $
$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\pi hoặc \sin (x+\frac{5\pi }{12})=\sin \frac{\pi }{4}$
$\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;-\frac{\pi }{6}+k\pi$
mở rộng: để giải nhiều bài toán cần biến đổi phức tạp thì ta nên nhẩm nhiệm, từ đó suy ra nhân tử chung của phương trình!
ví dụ trong bài toán trên, ta nhẩm đươc nghiệm là:$-\frac{\pi }{6}+k\pi$ta ta suy ra nhân tử chung có thể sẽ là $\cos (x-\frac{\pi }{3})$khi đó ta sẽ tách ghép rồi đưa về phương trình tích!
một ví dụ về phương pháp trên như:$(\cos x-\sin x)(2\tan x+\frac{1}{\cos x})+2=0$
dễ dàng nhận thấy bài toán trên có nghiệm là$\frac{\pi }{3}+k2\pi;-\frac{\pi }{3}+k2\pi$nên ta đoán pt sẽ có nhân tử là:$2\cos x-1$khi đó, ta biến đổi pt$\Leftrightarrow (2\cos x-1)(\sin x+\cos x-2)=0$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$
Điểm mở rộng: 0 vì phần trình bày trên không thuộc diện mở rộng mà là một kĩ năng giúp định hướng giải nhanh bài toán.

S = 52 - 12 + 3x10 + 0 + 0 = 70

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:46
Ghi điểm

[minh29995]

Mở rộng 2: Cách giải tổng quát thứ 2 cho bài toán.
Những phương trình dạng bậc 2 với sinx và cosx ta luôn đưa được về dạng:
$asin^2x+bsinx+csinx.cosx+dcosx+e=0$
$\Leftrightarrow asin^2x+bsinx+e=-cosx(csinx+d)$
$\Rightarrow (a^2+c^2)sin^4x+2(ab+cd)sin^3x+(b^2+2ae-c^2+d^2).sin^2x+2(be-cd)sinx+e^2-d^2=0$
Đây là phương trình 1 ẩn sinx. Ta giải như PT đại số bình thường tìm nghiệm sinx thỏa mãn.
Cuối cùng thay lại nghiệm để kiểm tra ta được nghiệm của phương trình.
(Một số bài toán không thể phân tích $\Delta$ thành bình phương).

Mở rộng này xem ra rộng quá! Dẫn đến phương trình bậc 4 đầy đủ thì....chết!
Điểm mở rộng: 4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-09-2012 - 15:43

[khanh3570883]

ĐKXĐ:$x \in R$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - {{\sin }^2}x} \right] \\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{12}}\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - {\sin ^2}x \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - 2{\sin ^2}x \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 - \cos 2x = 0 \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \frac{\pi }{2} - \cos 2x = 0 \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - \cos 2x = 0 \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - \cos 2x = 0 \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 - \left[ {\cos \left( {2x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos 2x} \right] = 0 \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\left[ {\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - 1} \right] = 0 \\
\Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\left[ {\sin \left( {x + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) - \sin \frac{\pi }{4}} \right] = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \\
\sin \left( {x + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) = \sin \frac{\pi }{4} \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right) \\
\end{array}$
Vậy phương trình có các nghiệm là $x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$
S = 52 - 15 + 3x10 + 0 + 0 = 67

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:49
Ghi điểm

[songvui000]

http://www.mediafire...z3hnklxdi62f9zh
em đánh ko được trên trang web nên gửi file bài làm này.Mong cũng được chấm như các bài khác
__________________________

Nhắc em, nếu em muốn tham gia thảo luận nhiều trên VMF hay thi giải toán ở các cấp học thì dù ít hay nhiều em phải nắm được và gõ được $Latex$.
Từ nay về sau những bài gửi như link dẫn này BGK sẽ không tính là bài làm của thí sinh. Hy vọng em hiểu.

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$

S = 52 - 16 + 3x10 + 0 + 0 = 66

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:50
Ghi điểm

[dangerous_nicegirl]

Bài trên của em đánh nhầm.Em xin sửa lại:
$(1+\sqrt{3})\sin (2x+\frac{\Pi }{4})=2\sqrt{2}(\cos (x-\frac{\Pi }{3})-\sin ^{2}x)$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})\(sin 2x+\cos 2x)=4(\frac{\cos x}{2}+\frac{\sqrt{3}\sin x}{2}-\sin ^{2}x)$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})(2\sin x\cos x+\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+4\sin ^{2}x=2(\cos x+\sqrt{3}\sin x)$
$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+(1+\sqrt{3})\cos ^{2}x-(1+\sqrt{3})\sin ^{2}x+4\sin ^{2}x-2(\cos x+\sqrt{3}\sin x)=0$
$\Leftrightarrow (\cos x+\sqrt{3}\sin x)^{2}+(\sqrt{3}\cos x-\sin x)(\cos x+\sqrt{3}\sin x)-2(\cos x+\sqrt{3}\sin x)=0$\Leftrightarrow (\cos x+\sqrt{3}\sin x)(\cos x+\sqrt{3}\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sin x-2)=0$
TH1:$\cos x+\sqrt{3}\sin x=0 & & \\$$\Leftrightarrow \cos (x-\frac{\Pi }{3})=0\Leftrightarrow x= \frac{5\Pi }{6}+k\Pi (k\in Z)$
TH2:($(1+\sqrt{3})\cos x+(\sqrt{3}-1)\sin x=2$
Đặt$\frac{(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}}=\cos \alpha$ và$\frac{(1-\sqrt{3})}{2\sqrt{2}}=\sin \alpha$
Khi đó ta có $\cos (x-\alpha )=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\pm \arccos \frac{1}{4}+k2\Pi (k\in Z)$

Lại lỗi $Latex$, em muốn CD13 chấm bài nào????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 04-09-2012 - 15:48