Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$
Bài giải trận 2: longqnh – MHS13
\[\begin{array}{l}
\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - {{\sin }^2}x} \right] \\
<=> \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) = 4\left( {\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - {{\sin }^2}x} \right) \\
<=> \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos 2x = 2\cos x + 2\sqrt 3 \sin x - 4{\sin ^2}x \\
<=> 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) + 4{\sin ^2}x - 2\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0 \\
<=> \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x\cos x + \sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\cos ^2}x + \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\sin ^2}x - 2\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0 \\
<=> \left[ {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x\cos x + \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right){{\sin }^2}x} \right] + \left[ {\sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right){{\cos }^2}x} \right] - 2\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0 \\
<=> \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) - 2\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0 \\
<=> \left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right)\left[ {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x - 2} \right] = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
\cos x + \sqrt 3 \sin x = 0{\rm{ (*)}} \\
\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x - 2 = 0{\rm{ (**)}} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
- Giải $(*)$
\[\cos x + \sqrt 3 \sin x = 0 <=> \tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} <=> x = - \frac{\pi }{6} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \]
- Giải $(**)$
\[\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x - 2 = 0\]
Dễ thấy $cos\frac{x}{2}=0$ không là nghiệm của $(**)$
Đặt $t=tan\frac{x}{2}$
\[\begin{array}{l}
(**) <=> \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} - 2 = 0 \\
<=> \left( {3 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)t + 1 - \sqrt 3 = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \\
t = \sqrt 3 - 2 \\
\end{array} \right. \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = \tan \frac{\pi }{6} \\
\tan \frac{x}{2} = \tan \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \\
\end{array} \right. <=> \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x =- \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z}) \\
\end{array}\]
Kết hợp $(*)$ và $(**)$, ta thu được 2 họ nghiệm của phương trình:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x =- \frac{\pi }{6} + k\pi \\
\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]
$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$
S = 52 - 38 + 3x10 + 0 + 0 = 44
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-09-2012 - 20:55
Ghi điểm