39 replies to this topic

[luuxuan9x]

Tập xác định:$D=\mathbb{R}$

Khi đó phương trình đã cho tương đương:$(1+\sqrt{3})(sin2x+cos2x)=4cos(x-\frac{\pi }{3})-4sin^{2}x$

<=>$(1+\sqrt{3})(cos^{2}x+2sinx.cosx-sin^{2}x)+4sin^{2}x=4(cosx.cos\frac{\pi }{3}+sinx.sin\frac{\pi }{3})$

<=>$(1+\sqrt{3})cos^{2}x+2(1+\sqrt{3})sinx.cosx+(3-\sqrt{3})sin^{2}x=2(cosx+\sqrt{3}sinx)$

<=>$(cosx+\sqrt{3}sinx)[(1+\sqrt{3})cosx-(1-\sqrt{3}sinx)]=2(cosx+\sqrt{3}sinx)$

<=>$\begin{bmatrix} cosx+\sqrt{3}sinx=0 (1)\\ (1+\sqrt{3})cosx+(\sqrt{3}-1)sinx=2(2) \end{bmatrix}$

Xét (1):

Với $cosx=0$ =>$sinx=0$ (mâu thuẫn vì khi $cosx=0$ thì $sinx=\pm 1$ )

Vậy $cos\neq 0$.Khi đó (1) tương đương:$tanx=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

<=>$x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)

Xét phương trình (2) ta có:

(2) <=>$(\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})cosx+(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}})sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$

<=>$cos\frac{\pi }{12}.cosx+sin\frac{\pi }{12}sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}$

<=>$cos(x-\frac{\pi }{12})=\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\frac{\pi }{4}$

<=>$\begin{bmatrix} x-\frac{\pi }{12}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{12}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{bmatrix}$ ($k\in \mathbb{Z}$)

<=>$\begin{bmatrix} x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{bmatrix}$ ($k\in \mathbb{Z}$)

Hợp nghiệm của phương trình (1) và phương trình (2) ta được họ nghiệm:$x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm:$x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$

S = 52 - 17 + 3x10 + 0 + 0 = 65

Edited by E. Galois, 04-09-2012 - 20:52.
Ghi điểm

[lordsky216]

BTC cho em bổ sung chỗ này phần kết luận với ạ. Hôm trước em viết thiếu :
$\alpha = arc sin \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$
p/s: Nếu mà k thiếu thì thôi ạ

[diepviennhi]

đặt $t=x-\frac{\pi }{3}$ thế vào phương trình ta được $cos2t-sin2t-2cost+1=0\Leftrightarrow 2cos^{2}t-2sint.cost-2cost=0\Leftrightarrow 2cost(cost-sint-1)=0$
xét $cost=0\Leftrightarrow t=\frac{\pi }{2}+k\pi\Rightarrow \frac{\pi }{2}+k\pi=x-\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x=\frac{5}{6}\pi +k\pi$
xét $cost=sint+1\Rightarrow 2sint(sint+1)=0$ Đây là phương trình hệ quả nhưng khi kết luận nghiệm em không có thử lại!
Nếu $sint=0\Leftrightarrow t=k\pi \Rightarrow k\pi =x-\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi$
Nếu $sint=-1\Leftrightarrow t=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow -\frac{\pi }{2}+k2\pi=x-\frac{\pi }{3}\Leftrightarrow x=k2\pi -\frac{\pi }{6}$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $S=\begin{Bmatrix} k2\pi -\frac{\pi }{6};\frac{5}{6}\pi +k\pi;\frac{\pi }{3}+k\pi \end{Bmatrix}$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 8.5}}$$

S = 52 - 36 + 3x8.5 + 0 + 0 =41.5

Edited by E. Galois, 04-09-2012 - 20:54.
Ghi điểm

[longqnh]

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Bài giải trận 2: longqnh – MHS13
\[\begin{array}{l}
\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\sqrt 2 \left[ {\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) - {{\sin }^2}x} \right] \\
<=> \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) = 4\left( {\frac{1}{2}\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - {{\sin }^2}x} \right) \\
<=> \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos 2x = 2\cos x + 2\sqrt 3 \sin x - 4{\sin ^2}x \\
<=> 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) + 4{\sin ^2}x - 2\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0 \\
<=> \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x\cos x + \sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\cos ^2}x + \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right){\sin ^2}x - 2\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0 \\
<=> \left[ {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x\cos x + \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right){{\sin }^2}x} \right] + \left[ {\sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\sin x\cos x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right){{\cos }^2}x} \right] - 2\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0 \\
<=> \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) - 2\left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right) = 0 \\
<=> \left( {\cos x + \sqrt 3 \sin x} \right)\left[ {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x - 2} \right] = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
\cos x + \sqrt 3 \sin x = 0{\rm{ (*)}} \\
\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x - 2 = 0{\rm{ (**)}} \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
- Giải $(*)$
\[\cos x + \sqrt 3 \sin x = 0 <=> \tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} <=> x = - \frac{\pi }{6} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \]
- Giải $(**)$
\[\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\sin x + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cos x - 2 = 0\]
Dễ thấy $cos\frac{x}{2}=0$ không là nghiệm của $(**)$
Đặt $t=tan\frac{x}{2}$
\[\begin{array}{l}
(**) <=> \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} - 2 = 0 \\
<=> \left( {3 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)t + 1 - \sqrt 3 = 0 \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \\
t = \sqrt 3 - 2 \\
\end{array} \right. \\
<=> \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = \tan \frac{\pi }{6} \\
\tan \frac{x}{2} = \tan \left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) \\
\end{array} \right. <=> \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x =- \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z}) \\
\end{array}\]

Kết hợp $(*)$ và $(**)$, ta thu được 2 họ nghiệm của phương trình:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x =- \frac{\pi }{6} + k\pi \\
\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]

$$\boxed{\boxed{Điểm: 10}}$$

S = 52 - 38 + 3x10 + 0 + 0 = 44

Edited by E. Galois, 04-09-2012 - 20:55.
Ghi điểm

[hoangtrong2305]

Giải phương trình
$$(1+\sqrt{3})sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-sin^{2}x \right ]$$

Mở rộng:

Cách giải 2:

$(1+\sqrt{3})\sin \left (2x + \frac{\pi}{4}\right )=2\sqrt{2} \left [\cos \left (x-\frac{\pi}{3}\right )-\sin^{2}x \right ]$

$\Leftrightarrow \frac{(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}}\sin (2x + \frac{\pi}{4} )= \cos (x-\frac{\pi}{3} )-\sin^{2}x$

$\Leftrightarrow \cos (\frac{\pi}{4}-2x)\cos(\frac{\pi}{12})= \cos (x-\frac{\pi}{3} )-\sin^{2}x$

$\Leftrightarrow \cos(\frac{\pi}{3}-2x)+\cos(\frac{\pi}{6}-2x)=2\cos(x-\frac{\pi}{3})-1+\cos 2x$

$\Leftrightarrow -2\sin(\frac{\pi}{6})\sin(\frac{\pi}{6}-2x)+\cos(\frac{\pi}{6}-2x)=-2\sin(x+\frac{\pi}{6})-1$

$\Leftrightarrow -\cos(2x+\frac{\pi}{3})+\cos(\frac{\pi}{6}-2x)=-2\sin(x+\frac{\pi}{6})-1$

$\Leftrightarrow 2\sin(\frac{\pi}{4})\sin(2x+\frac{\pi}{12})=-2\sin(x+\frac{\pi}{6})-1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})=-2\sin(x+\frac{\pi}{6})-1$

$\Leftrightarrow \sin(2x+\frac{\pi}{3})-\cos(2x+\frac{\pi}{3})=-2\sin(x+\frac{\pi}{6})-1$

$\Leftrightarrow \sin(x+\frac{\pi}{6})\cos(x+\frac{\pi}{6})+\sin^{2}(x+\frac{\pi}{6})+\sin(x+\frac{\pi}{6})=0$

$\Leftrightarrow \sin(x+\frac{\pi}{6})[\cos(x+\frac{\pi}{6})+\sin(x+\frac{\pi}{6})+1]=0$

$\Leftrightarrow \sin(x+\frac{\pi}{6})[\sqrt{2}\sin(x+\frac{5\pi}{12})+1]=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sin(x+\frac{\pi}{6})=0\\ \sin(x+\frac{5\pi}{12})=\sin(\frac{\pi}{4}) \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\\ x=\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{bmatrix};(k \in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có $2$ họ nghiệm

$$\boxed{\begin{bmatrix} x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\\ x=\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{bmatrix};(k \in \mathbb{Z})}$$


[font='times new roman', ', times, serif} ']CD13 nghĩ lời giải này và lời giải trên giống nhau nên không xem là cách khác được![/font]

Edited by CD13, 04-09-2012 - 15:56.

[dangerous_nicegirl]

Cách 2 : Ta có$\frac{(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{2}}=\sin \left ( \frac{5\Pi }{12} \right )$
Khi đó:pt trở thành:$\sin \left ( \frac{5\Pi }{12} \right )\sin \left ( 2x+\frac{\Pi }{4} \right )=\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3})-\sin ^{2}x$
$\Leftrightarrow \cos \left ( 2x-\frac{\Pi }{6} \right )-\cos \left ( 2x+\frac{2\Pi }{3} \right )=2\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )-2\sin ^{2}x$
$\Leftrightarrow -\sin \left ( 2x-\frac{2\Pi }{3} \right )-2\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )=\cos \left ( 2x+\frac{2\Pi }{3} \right )+\cos \left ( 2x \right )-1$$\Leftrightarrow -2\sin \left ( x-\frac{\Pi }{3})\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )-2\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )=2\cos (2x+\frac{2\Pi }{3})\cos \left ( \frac{\Pi }{3} \right )-\cos \left ( 0 \right )$
$\Leftrightarrow -2\sin \left ( x-\frac{\Pi }{3})\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )-2\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )=-2\sin ^{2}\left ( x+\frac{x}{6} \right )$$\Leftrightarrow \cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )(\sin \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )+1-\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right ))=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )=0\Leftrightarrow x= \frac{5\Pi }{6} & & \\ \sin \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right ) \right )-\cos \left ( x-\frac{\Pi }{3} \right )=1 \right )\Leftrightarrow \cos \left ( x-\frac{\Pi }{12} )=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \right\begin{bmatrix} x=\frac{\Pi }{3}+k2\Pi & & \\ x=\frac{\Pi }{6}+k2\Pi & & \end{bmatrix} & & \end{bmatrix}$
$k\in Z$

[Spin9x]

Lời giải :
$(1+\sqrt{3})sin(2x+\frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}[cos(x-\frac{\pi}{3})-sin^2x]$
$\Leftrightarrow(1+\sqrt{3})(sin2x+cos2x)=4cos(x-\frac{\pi}{3})-2(1-cos2x)$
$\Leftrightarrow \sqrt{3}cos2x-cos2x-4cos(x-\frac{\pi}{3})+\sqrt{3}sin2x+sin2x+2=0 $
$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}sin2x +\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x -2cos(x-\frac{\pi}{3})+1=0$
$\Leftrightarrow cos(2x-\frac{\pi}{6})-cos(2x+\frac{\pi}{3})-2cos(x-\frac{\pi}{3})+1=0 (1)$

Đặt : $(x-\frac{\pi}{3})=t \Rightarrow2x=2t+\frac{2\pi}{3}$

$\Leftrightarrow cos(2t+\frac{\pi}{2})-cos(2t+\pi)-2cost+1=0$
$\Leftrightarrow cos2t-sin2t-2cost+1=0$
$\Leftrightarrow 2cos^2t-2cost-2sintcost=0$
$\Leftrightarrow cost(cost-sint-1)=0$
$\Leftrightarrow cost(-\sqrt{2}cos(t+\frac{\pi}{4})-1)$


Trường hợp 1 :
$cost=0$
$\Leftrightarrow cos(x-\frac{\pi}{3})=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi (k\epsilon Z)$
Trường hợp 2:
$\sqrt{2}cos(t+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow cos(t+\frac{\pi}{4})=cos(\frac{\pi}{4})$
Hoặc:
$\Leftrightarrow
t=k2\pi (k\epsilon Z)$
Hoặc:
$t=-\frac{\pi}{2}+k2\pi ( kk\epsilon Z)$
Từ t ta có:
$x=\frac{\pi}{3}+k2\pi (k\epsilon Z)$
$x=\frac{-\pi}{6}+2k\pi (k\epsilon Z)$
Vậy phương trình có nghiệm là :
$x=\frac{\pi}{3}+k2\pi $
$x=\frac{-\pi}{6}+k2\pi (k\epsilon Z)$
$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi (k\epsilon Z)$

$$\boxed{\boxed{Điểm: 9.5}}$$
S = 52 - 48 + 3x9.5 + 0 + 0 = 32.5

Edited by E. Galois, 04-09-2012 - 20:56.
Ghi điểm

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc. Các toán thủ hãy nhận xét bài làm của nhau.

Chú ý: toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

[hoangtrong2305]

Danh sách các bạn đã nộp bài làm (theo thứ tự thời gian):

Trận này có 16/30 thí sinh làm bài, do vòng 2 lấy 25 thí sinh nên các bạn có trong danh sách 99,99% được đi tiếp

[diepviennhi]

sao mình giải ra lại có 3 nghiệm nhỉ?? trong khi nhiều người ra có 2 nghiệm thôi

[BoFaKe]

Bài này khó quá,trình không đủ để làm,không biết có out không.

Edited by BoFaKe, 03-09-2012 - 10:53.

[dangerous_nicegirl]

sao minh toàn bị lỗi Latex nhỉ. ngu Latex wa. vất vả các anh sửa lại oy?

[chagtraife]

chỉ cho em cái chức năng xem trước với!làm xong mà không biết bài của mình như thế nào hết!

[chagtraife]

sao mình giải ra lại có 3 nghiệm nhỉ?? trong khi nhiều người ra có 2 nghiệm thôi

có phải bạn sai chỗ này không?

xét $cost=sint+1\Rightarrow 2sint(sint+1)=0$

[Gioi han]

chỉ cho em cái chức năng xem trước với!làm xong mà không biết bài của mình như thế nào hết!

Xem thế này bạn nhé!
Bạn viết xong thì bấm vào :”sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ’’.
Nếu sửa còn sai thì bạn ‘’xem trước’’.

Attached Images

• 

[Gioi han]

Lời giải của mình:
$(1+\sqrt{3})sin(2x + \frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}[cos(x-\frac{\pi}{3})-sin^{2}x]$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x +(1+\sqrt{3})cos2x=4cos(x-\frac{\pi}{3}-2(1-cos2x)$
$\Leftrightarrow (sin2x+\sqrt{3}coss2x)- (cos2x-\sqrt{3}cos2x)=4cos(x-\frac{\pi}{3})-2$
$\Leftrightarrow sin(2x+\frac{\pi}{3})-cos(2x+\frac{\pi}{3})=2cos(x-\frac{\pi}{3})-1$
Đặt $ t=x- \frac{\pi}{3}$ ta có phương trình:
$sin(2t+\pi) –cos(2t-\pi)=2cost-1$
$\Leftrightarrow cos2t - sin2t = 2cost - 1$
$\Leftrightarrow cos^{2}t-cost sint -cost=0$
$\Leftrightarrow cost( sint - cost+1)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} cost=0\\ sin(t-\frac{\pi}{4})=\frac{-1}{\sqrt{2}} \end{array}\right. \,\,$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ t=\frac{-\pi}{2}+k2\pi \\ t=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\right. \,\,$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi}{6}+k\pi \\ \frac{\pi}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \end{array}\right. \,\,$
$P/s$: Lúc post bài mình tính sai nghiệm,bây giờ mới biết.

Edited by nguyenhang28091996, 03-09-2012 - 14:04.

[BoFaKe]

Lời giải của mình:
$(1+\sqrt{3})sin(2x + \frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}[cos(x-\frac{\pi}{3})-sin^{2}x]$
$\Leftrightarrow (1+\sqrt{3})sin2x +(1+\sqrt{3})cos2x=4cos(x-\frac{\pi}{3}-2(1-cos2x)$
$\Leftrightarrow (sin2x+\sqrt{3}coss2x)- (cos2x-\sqrt{3}cos2x)=4cos(x-\frac{\pi}{3})-2$
$\Leftrightarrow sin(2x+\frac{\pi}{3})-cos(2x+\frac{\pi}{3})=2cos(x-\frac{\pi}{3})-1$
Đặt $ t=x- \frac{\pi}{3}$ ta có phương trình:
$sin(2t+\pi) –cos(2t-\pi)=2cost-1$
$\Leftrightarrow cos2t - sin2t = 2cost - 1$
$\Leftrightarrow cos^{2}t-cost sint -cost=0$
$\Leftrightarrow cost( sint - cost+1)=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} cost=0\\ sin(t-\frac{\pi}{4})=\frac{-1}{\sqrt{2}} \end{array}\right. \,\,$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ t=\frac{-\pi}{2}+k2\pi \\ t=k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\right. \,\,$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi}{6}+k\pi \\ \frac{\pi}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \end{array}\right. \,\,$
$P/s$: Lúc post bài mình tính sai nghiệm,bây giờ mới biết.

Sao giờ mới gửi đáp án .

[Gioi han]

Sao giờ mới gửi đáp án .

Mình đã gửi cả đề và đáp án trước đó rồi bạn,đáng tiếc là sai sót một chút,bây giờ post để mọi người cùng xem thôi.

[CD13]

Chấm xong các bài làm của thí sinh, điểm đã được CD13 ghi phía dưới bài làm (cùng với những nhận xét nho nhỏ!). Thí sinh nào có thắc mắc có thể gửi tại đây để BGK trả lời trực tiếp, thắc mắc sẽ được chấp nhận cho đến hết ngày 4/9/2012.

[E. Galois]

Điểm của toán thủ ra đề

D = 4x0+2x17+2x3 = 40