Trước tiên là ta CM rằng : Với a,b,c t/m đề thì :
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$
Thật vậy, giả sử $a=max(a,b,c)$
Từ đó : $\frac{b}{c+a+1}\leq \frac{b}{c+b+1}$
và : $\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{c+b+1}$
Mà theo AM-GM thì :
$\frac{(1+b+c)+(1-b)+(1-c)}{3}\geq \sqrt[3]{(1+b+c)(1-b)(1-c)}$
$\Rightarrow 1\geq (1+b+c)(1-b)(1-c)\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}$
Và như thế ta chỉ cần CM :
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+b+1}+\frac{c}{c+b+1}+\frac{1-a}{1+b+c}\leq 1$
Nhưng thực chất đây chỉ là một đẳng thức.
Và khi đã có BĐT này thì bài nghiệm nguyên kia vô vị rồi