$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)= 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 31-08-2012 - 19:57
Tìm nghiệm nguyên : $\sum \frac{a}{b+c+1}+(1-a)(1-b)(1-c)= 1$
Bắt đầu bởi tkvn97, 31-08-2012 - 19:56
#1
Đã gửi 31-08-2012 - 19:56
tkvn97
-
- Thành viên
-
- 381 Bài viết
Sĩ quan
Bài toán : Cho $0\leq a,b,c\leq 1$ . Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình :
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)= 1$
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)= 1$
- buiminhhieu và firetiger05 thích
- tkvn 97-
#2
Đã gửi 31-08-2012 - 20:09
Secrets In Inequalities VP
-
- Thành viên
-
- 309 Bài viết
Sĩ quan
Trước tiên là ta CM rằng : Với a,b,c t/m đề thì :
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$
Thật vậy, giả sử $a=max(a,b,c)$
Từ đó : $\frac{b}{c+a+1}\leq \frac{b}{c+b+1}$
và : $\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{c+b+1}$
Mà theo AM-GM thì :
$\frac{(1+b+c)+(1-b)+(1-c)}{3}\geq \sqrt[3]{(1+b+c)(1-b)(1-c)}$
$\Rightarrow 1\geq (1+b+c)(1-b)(1-c)\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}$
Và như thế ta chỉ cần CM :
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+b+1}+\frac{c}{c+b+1}+\frac{1-a}{1+b+c}\leq 1$
Nhưng thực chất đây chỉ là một đẳng thức.
Và khi đã có BĐT này thì bài nghiệm nguyên kia vô vị rồi
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$
Thật vậy, giả sử $a=max(a,b,c)$
Từ đó : $\frac{b}{c+a+1}\leq \frac{b}{c+b+1}$
và : $\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{c+b+1}$
Mà theo AM-GM thì :
$\frac{(1+b+c)+(1-b)+(1-c)}{3}\geq \sqrt[3]{(1+b+c)(1-b)(1-c)}$
$\Rightarrow 1\geq (1+b+c)(1-b)(1-c)\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}$
Và như thế ta chỉ cần CM :
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+b+1}+\frac{c}{c+b+1}+\frac{1-a}{1+b+c}\leq 1$
Nhưng thực chất đây chỉ là một đẳng thức.
Và khi đã có BĐT này thì bài nghiệm nguyên kia vô vị rồi
- WhjteShadow, DarkBlood, hoctrocuanewton và 4 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
