Chủ đề này có 9 trả lời

[cool hunter]

Cho a là 1 số nguyên dương & $a>2$. CMR: tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn: $n | (a^n -1)$

[nguyenta98]

Cho a là 1 số nguyên dương & $a>2$. CMR: tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn: $n | (a^n -1)$

Giải như sau:
Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$
Ta dễ cm $gcd(a,n)=1 \Rightarrow gcd(a,p)=1$ nên theo Fermat nhỏ thì $a^{p-1}-1 \vdots p$
Mặt khác gọi $k$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $a^k-1 \vdots p$
Khi ấy theo bổ đề quen thuộc suy ra $n \vdots k$ và $p-1 \vdots k$, từ đó suy ra $k=1$ vì nếu $k>1$ thì $k \vdots r$ với $r$ nguyên tố khi ấy $n \vdots r$ mặt khác $p-1 \vdots k \Rightarrow p>k \Rightarrow p>r$ suy ra $r$ cũng là ước nguyên tố của $n$ mà $r<p$ mâu thuẫn với sự nhỏ nhất của $p$
Do đó $k=1$ nên $a-1 \vdots p$
Ta gọi $n=p^x.y$ với $gcd(p,y)=1$
Khi ấy $a^n-1=a^{p^x.y}-1$
Ta sẽ cm $a^{p^x.y}-1 \vdots p^x$
Ta có $a^{y}-1=(a-1)(..) \vdots p$ (do $a-1 \vdots p$ cmt)
Giả sử $a^{p^u.y}-1 \vdots p^u$
Ta sẽ chứng minh $a^{p^{u+1}.y}-1 \vdots p^{u+1}$
Thật vậy theo GTQN suy ra $a^{p^u.y}-1 \vdots p^u$
Mặt khác $a^{p^{u+1}.y}-1=(a^{p^u.y}-1)((a^{p^u.y})^{p-1}+...+(a^{p^u.y})+1)$
Ta thấy $a^{p^u.y}-1 \vdots p^u$ (GTQN) mà $(a^{p^u.y})^{p-1}+...+(a^{p^u.y})+1 \equiv p \pmod{p}$ do đó dễ suy ra $đpcm$
Như vậy $a^n-1=a^{p^x.y}-1 \vdots p^x$
Giờ đây ta chỉ quan tâm $a^{p^x.y}-1 \vdots y$ khi ấy ta có $(a^{p^x})^y-1 \vdots y$ và ta lại giả sử tương tự như trên lúc này $a^{p^x}$ đóng vai trò là $a$ như trong đề bài, và quá trình trên luôn luôn lặp lại nên nếu ta dừng lại ở một quá trình nào đó thì ta thu được $n$ thỏa mãn, còn không cứ tiếp như vậy cho đến vô cùng nên suy ra có vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn và ta đã chứng minh xong bài toán
Vậy có vô hạn $n$ để $a^n-1 \vdots n$ với mỗi $a>2$ và $a$ nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-09-2012 - 09:06

[tran thanh binh dv class]

Cho a là 1 số nguyên dương & $a>2$. CMR: tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn: $n | (a^n -1)$

Giải như sau:
Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$
Ta dễ cm $gcd(a,n)=1 \Rightarrow gcd(a,p)=1$ nên theo Fermat nhỏ thì $a^{p-1}-1 \vdots p$
Mặt khác gọi $k$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $a^k-1 \vdots p$
Khi ấy theo bổ đề quen thuộc suy ra $n \vdots k$ và $p-1 \vdots k$, từ đó suy ra $k=1$ vì nếu $k>1$ thì $k \vdots r$ với $r$ nguyên tố khi ấy $n \vdots r$ mặt khác $p-1 \vdots k \Rightarrow p>k \Rightarrow p>r$ suy ra $r$ cũng là ước nguyên tố của $n$ mà $r<p$ mâu thuẫn với sự nhỏ nhất của $p$
Do đó $k=1$ nên $a-1 \vdots p$
Ta gọi $n=p^x.y$ với $gcd(p,y)=1$
Khi ấy $a^n-1=a^{p^x.y}-1$
Ta sẽ cm $a^{p^x.y}-1 \vdots p^x$
Ta có $a^{y}-1=(a-1)(..) \vdots p$ (do $a-1 \vdots p$ cmt)
Giả sử $a^{p^u.y}-1 \vdots p^u$
Ta sẽ chứng minh $a^{p^{u+1}.y}-1 \vdots p^{u+1}$
Thật vậy theo GTQN suy ra $a^{p^u.y}-1 \vdots p^u$
Mặt khác $a^{p^{u+1}.y}-1=(a^{p^u.y}-1)((a^{p^u.y})^{p-1}+...+(a^{p^u.y})+1)$
Ta thấy $a^{p^u.y}-1 \vdots p^u$ (GTQN) mà $(a^{p^u.y})^{p-1}+...+(a^{p^u.y})+1 \equiv p \pmod{p}$ do đó dễ suy ra $đpcm$
Như vậy $a^n-1=a^{p^x.y}-1 \vdots p^x$
Giờ đây ta chỉ quan tâm $a^{p^x.y}-1 \vdots y$ khi ấy ta có $(a^{p^x})^y-1 \vdots y$ và ta lại giả sử tương tự như trên lúc này $a^{p^x}$ đóng vai trò là $a$ như trong đề bài, và quá trình trên luôn luôn lặp lại nên nếu ta dừng lại ở một quá trình nào đó thì ta thu được $n$ thỏa mãn, còn không cứ tiếp như vậy cho đến vô cùng nên suy ra có vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn và ta đã chứng minh xong bài toán
Vậy có vô hạn $n$ để $a^n-1 \vdots n$ với mỗi $a>2$ và $a$ nguyên dương

Nếu thay a=2 thì có cách giải ngắn hơn không???

[L Lawliet]

Nếu thay a=2 thì có cách giải ngắn hơn không???

Đề bài cho $a>2$ mà bạn?

[tran thanh binh dv class]

thê a=2 liệu có đúng không bạn??

[L Lawliet]

thê a=2 liệu có đúng không bạn??

Chậc, mình vẫn chưa hiểu được mục đích của bạn đấy, đề bài đã cho $n>2$ thì nghĩa là với $n\leq 2$ thì nó không đúng rồi mà :|

[tran thanh binh dv class]

Cho a là 1 số nguyên dương & $a>2$. CMR: tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn: $n | (a^n -1)$

thực ra là mình bắt gặp một bài có đề thế này CMR: tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn: $n | (2^n +1)$ nhưng không biết có tương tự không

[nguyenta98]

thực ra là mình bắt gặp một bài có đề thế này CMR: tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn: $n | (2^n +1)$ nhưng không biết có tương tự không

Có bạn à, làm chả khác gì cả đâu, thậm chí ta có thể tìm được $n$ với đúng $k$ ước nguyên tố
Cách giải tương tự bài sau đây
http://diendantoanho...a-2n-1-vdots-n/
Từ cách cm bài trong link trên ta dễ dàng suy ra có vô số $n$ thỏa mãn, hoặc không ta cm trực tiếp như mình làm với $a$ ở trên kia là được mà, bạn hãy thử đi nhé

[anh qua]

$a = 2$ thì không có n để $n | 2^n - 1$ .

[Secrets In Inequalities VP]

$a = 2$ thì không có n để $n | 2^n - 1$ .

Chả đóng góp đc gì . Thôi thì CM cái này vậy
-n=1 thỏa mãn
Giả sử n>1 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $n | 2^n - 1$ .
Theo Euler : $2^{\varphi (n)}-1\vdots n$
Theo bài toán quen thuộc : a,m,n là các số tự nhiên thì $(a^m-1,a^n-1)= a^{(m,n)}-1$
Đặt $d=gcd(n,\varphi (n))$ thì $(2^n-1,2^{\varphi (n)}-1)=2^d-1$
Suy ra $n\mid 2^d-1$ . Do n>1 nên $2^d-1> 1$ suy ra $d> 1$ và $d\leq \varphi (n)< n$
Mà $d\mid n$ nên $d\mid 2^d-1$ .Như vậy d có tính chất bài toán yêu cầu , mà $1< d< n$ ,
điều này mâu thuẫn với định nghĩa số n .
Vậy không tồn tại n>1 để $n | 2^n - 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 07-09-2012 - 20:43