cho $a,b,c$ > 0. $a+b+c=3$.cmr : $\frac{a^{2}b}{4-bc} + \frac{b^{2}c}{4-ca} + \frac{c^{2}a}{4-ab}\leq 1$
cho $a,b,c$ > 0. $a+b+c=3$.cmr : $\frac{a^{2}b}{4-bc} + \frac{b^{2}c}{4-ca} + \frac{c^{2}a}{4-ab}\leq 1$
Bắt đầu bởi LeLinh97, 01-09-2012 - 12:21
#2
Đã gửi 01-09-2012 - 18:57
bastian schweinsteiger
-
- Thành viên
-
- 74 Bài viết
Hạ sĩ
BĐT$\Leftrightarrow 4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}c}{4-bc}$
Do $a+b+c=3\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4\Rightarrow 4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq abc$
Ta cần CM $abc\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}c}{4-bc}\Leftrightarrow 1\geq \sum \frac{ab}{4-bc}\Leftrightarrow 64-32(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)^{2}\geq abc(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$
mà $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4$
Ta cần CM $64-32q+4q^{2}\geq 4r \Leftrightarrow q^{2}-8q+16\geq r$
Ta có $q^{2}\geq 9r\Rightarrow r\leq \frac{q^{2}}{9}$
Ta cần CM $\frac{8}{9}q^{2}-8q+16\geq 0\Leftrightarrow (q-3)(q-6)\geq 0$
luôn đúng do $q\leq 3$
Do $a+b+c=3\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4\Rightarrow 4-(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\geq abc$
Ta cần CM $abc\geq \sum \frac{a^{2}b^{2}c}{4-bc}\Leftrightarrow 1\geq \sum \frac{ab}{4-bc}\Leftrightarrow 64-32(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)^{2}\geq abc(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc)$
mà $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\leq 4$
Ta cần CM $64-32q+4q^{2}\geq 4r \Leftrightarrow q^{2}-8q+16\geq r$
Ta có $q^{2}\geq 9r\Rightarrow r\leq \frac{q^{2}}{9}$
Ta cần CM $\frac{8}{9}q^{2}-8q+16\geq 0\Leftrightarrow (q-3)(q-6)\geq 0$
luôn đúng do $q\leq 3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bastian schweinsteiger: 01-09-2012 - 19:00
- HÀ QUỐC ĐẠT, Poseidont và WhjteShadow thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
