Chủ đề này có 2 trả lời

[LeLinh97]

b,c,a không âm các số không có hai số nào đồng thời bằng 0.$\frac{a}{b^{3}+c^{3}}+\frac{b}{c^{3}+a^{3}}+\frac{c}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{18}{5(a^{2}+b^{2}+c^{2})-ab-bc-ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeLinh97: 01-09-2012 - 12:32

[tim1nuathatlac]

b,c,a không âm các số không có hai số nào đồng thời bằng 0.$\frac{a}{b^{3}+c^{3}}+\frac{b}{c^{3}+a^{3}}+\frac{c}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{18}{5(a^{2}+b^{2}+c^{2})-ab-bc-ca}$

$Q.e.D$ tương đương vs
$\sum \frac{a\left ( a+b+c \right )}{b^{3}+c^{3}}\geq \frac{18\left ( a+b+c \right )}{5\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-\left ( ab +bc+ca \right )}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b^{3}+c^{3}}+\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \frac{18\left ( a+b+c \right )}{5\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-ab-bc-ca}$
Áp dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có
$\sum \frac{a^{2}}{b^{3}+c^{3}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{\sum a^{2}\left ( b^{3}+c^{3} \right )}$

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}-bc}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\left ( b^{2} +c^{2}-bc \right )}$

do đó ta cần CM

$\frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{\sum a^{2}\left ( b^{3}+c^{3} \right )}+\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\left ( b^{2} +c^{2}-bc \right )}\geq \frac{18\left ( a+b+c \right )}{5\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-ab-bc-ca}$

Chuẩn hóa cho $a+b+c=1$ và sd phép đổi biến $p,q,r$
Áp dụng $Schur$ bậc 2 $\Rightarrow r\geq max\left \{ 0;\frac{\left ( 4q-1 \right )\left ( 1-q \right )}{6} \right \}$
ta cần cm
$\frac{\left ( 1-2q \right )^{2}}{q^{2}-\left ( q+2 \right )r}+\frac{1}{q-6r}\geq \frac{18}{5-11q}$
Đến đây ta chỉ cần xét 2 t/h $1\geq 4q$ và $4q\geq 1$ là song
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị

[LeLinh97]

làm sao mà biết là phải nhân a+b+c vào vậy