Chủ đề này có 2 trả lời

[lehung1192]

Viết nghiệm của phương trình vi phân: $y'' + 6y' - 7y = 2x^2 + 1$
thỏa mãn điều kiện $y(0) = 2 ; y'(0) = 1$
-------------------------------------------------------------------------------------
Mong thầy/cô giúp đỡ em giải bài này.
----

Lời nhắn từ BQT: Bạn phải đặt tiêu đề theo quy định! Những bài vi phạm sau sẽ bị xóa mà không có nhắc nhở! Cảm ơn.

[NosoZ]

Viết nghiệm của phương trình vi phân:
$y'' + 6y' - 7y = 2x^2 + 1$ (*)
thỏa mãn điều kiện y(0) = 2 ; y'(0) = 1
-------------------------------------------------------------------------------------

Phương trình thuần nhất tương ứng: $y'' + 6y' - 7y =0 \quad \quad (1)$
Xét phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất: ${k^2} + 6k - 7 = 0$
Phương trình này có hai nghiệm đơn là: $k=1$ và $k=-7$
$ \Rightarrow $ nghiệm tổng quát của phương trình (1): $y = {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - 7x}}$
Vế phải của phương trình không thuần nhất có dạng: ${e^{\alpha x}}{P_2}(x)$, trong đó $\alpha = 0$ và ${P_2}(x) = 2{x^2} + 1$
$\alpha = 0$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng: ${k^2} + 6k - 7 = 0$ nên nghiệm của phương trình đã cho (*) nếu có thì sẽ có dạng:
$$Y=Ax^2+Bx+C$$.
Tính $Y''$ và $Y'$ rồi thay vào phương trình (*), ta được:
$$-7Ax^2-(7B-6A)x+6B-7C=2x^2+1$$
Đồng nhất 2 vế:\[\left\{ \begin{gathered}
- 7A = 2 \\
7B - 6A = 0 \\
6B - 7C = 1 \\
\end{gathered} \right.\]
Giải hệ tìm được: $A=- \frac{2}{7};B=- \frac{12}{{49}};C=- \frac{{23}}{{343}}$
$ \Rightarrow Y=- \frac{2}{7}{x^2}-\frac{12}{{49}}x-\frac{{23}}{{343}}$
Nghiệm tổng quát của (*): $y= {C_1}{e^x} + {C_2}{e^{ - 7x}} - \left( {\frac{2}{7}{x^2} + \frac{12}{{49}}x + \frac{{23}}{{343}}} \right)$
Thay điều kiện ban đầu $y(0)=2, y'(0)=1$ vào nghiệm tổng quát, giải tìm $C_1,C_2$. Từ đó suy ra nghiệm riêng cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NosoZ: 07-09-2012 - 13:17

[giapvansu]

đây là một bài toán cơ bản của ptvt bậc cao với hệ số hằng. B có thể xem thêm trong cuốn phương trình vi phân và lý thuyết ổn định của thầy Nguyễn Thế Hoàn và thầy Phạm Phu.
chúc thành công!