Chủ đề này có 6 trả lời

[Poseidont]

Bài 1
Cho a,b,c là các số thực tùy ý thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=1$.CMR
$\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq \frac{3}{4}$
Bài 2
Cho a,b,c là các số thực tùy ý thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=1$.CMR
$\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}+\frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$
Mặc dù nó " cũ " rồi nhưng chúng ta hãy sáng tạo nhiều cách giải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 02-09-2012 - 11:42

[WhjteShadow]

Bài 1
Cho a,b,c là các số thực tùy ý thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=1$.CMR
$\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq \frac{3}{4}$

Do $a^2+b^2+c^2=1$ nên ta có $\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{2a^2+b^2+c^2}$
Mà mặt khác the0 $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$\frac{bc}{2a^2+b^2+c^2}\leq \frac{(b+c)^2}{4(2a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{1}{4}.\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)$
Tương tự và cộng lại ta có:
$\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ac}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\leq \frac{1}{4}.\sum \left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}$
Vậy ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ $\blacksquare$

[WhjteShadow]

Bài 2
Cho a,b,c là các số thực tùy ý thỏa mãn $ a^2+b^2+c^2=1$.CMR
$\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}+\frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$
Mặc dù nó " cũ " rồi nhưng chúng ta hãy sáng tạo nhiều cách giải

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $\forall 1 \geq x$ thì:
$$\frac{1}{1-x}\leq \frac{3}{4}+\frac{9}{4}x\,\,\,\,(*)$$
Thật vậy $(*)\Leftrightarrow 1\leq \frac{3}{4}(1+2x-3x^2)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}.(9x^2-6x+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}.(3x-1)^2\geq 0$ (Luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức trên với $ab,bc,ca,$ và để ý $1=a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ ta có:
$$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{4}+\frac{9}{4}(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{2}$$
Vậy nên ta có điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
P/s:tr0ng bài toán mình đã sử dụng phương pháp hệ số bất định để giải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 02-09-2012 - 16:02

[minhson95]

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $\forall 1 \geq x$ thì:
$$\frac{1}{1-x}\leq \frac{3}{4}+\frac{9}{4}x\,\,\,\,(*)$$
Thật vậy $(*)\Leftrightarrow 1\leq \frac{3}{4}(1+2x-3x^2)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}.(9x^2-6x+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}.(3x-1)^2\geq 0$ (Luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức trên với $ab,bc,ca,$ và để ý $1=a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ ta có:
$$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\leq \frac{9}{4}+\frac{9}{4}(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{2}$$
Vậy nên ta có điều phải chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
P/s:tr0ng bài toán mình đã sử dụng phương pháp hệ số bất định để giải

Cho mình hỏi là $(*)\Leftrightarrow 1\leq \frac{3}{4}(1+2x-3x^2)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}.(-9x^2+6x-1) \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{-1}{4}.(3x-1)^2 \leq 0$ mà sao ra được giống bạn?
----------------
Mình không hiểu bạn định hỏi j @@~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-10-2012 - 19:33

[minhson95]

Đầu tiên ta sẽ chứng minh $\forall 1 \geq x$ thì:
$\frac{1}{1-x}\leq \frac{3}{4}+\frac{9}{4}x$

BĐT $ \leftrightarrow \frac{3}{4}+\frac{9}{4}.x-\frac{1}{1-x} \leq 0$

cái BĐT này không đúng. Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{1}{3}$ còn với $x<1$ thì BĐT này không đúng. VD như ta thử với $x=0,5$ thấy không đúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 23-10-2012 - 21:28

[donghaidhtt]

Cho mình hỏi là $(*)\Leftrightarrow 1\leq \frac{3}{4}(1+2x-3x^2)$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4}.(-9x^2+6x-1) \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{-1}{4}.(3x-1)^2 \leq 0$ mà sao ra được giống bạn?
----------------
Mình không hiểu bạn định hỏi j @@~

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}.(3x-1)^2 \leq 0$ chứ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 23-10-2012 - 21:47

[WhjteShadow]

À bây giờ mới phát hiện ra
Mình xin chữa cháy bằng cách khác vậy:
Ta có điều phải chứng minh tương đương với :
$$\frac{1}{bc-1}-1+\frac{1}{ca-1}-1+\frac{1}{ab-1}-1\leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{bc}{bc-1}+\frac{ca}{ca-1}+\frac{ab}{ab-1}\leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{bc}{a^2+b^2+c^2-bc}+\frac{ca}{a^2+b^2+c^2-ca}+\frac{ab}{a^2+b^2+c^2-ab}\leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{bc}{a^2+b^2+2c^2+(b-c)^2}+\frac{ca}{a^2+2b^2+c^2+(a-b)^2}+\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2+(a-b)^2}\leq \frac{3}{4}$$
Nhưng do $(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\geq 0$ nên ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{bc}{a^2+b^2+2c^2}+\frac{ca}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}\leq \frac{3}{4}$$
Và đây chính là bất đẳng thức đã được chứng minh ở bài 1.
Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-10-2012 - 22:08