$C_{n}^{0}f(x)+C_{n}^{1}f(x^{2})+...+C_{n}^{n}f(x^{2^{n}})=0$, với mọi $x$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nucnt772: 03-09-2012 - 11:00
$C_{n}^{0}f(x)+C_{n}^{1}f(x^{2})+...+C_{n}^{n}f(x^{2^{n}})=0$.
Bắt đầu bởi nucnt772, 03-09-2012 - 10:58
#1
Đã gửi 03-09-2012 - 10:58
nucnt772
-
- Thành viên
-
- 209 Bài viết
Thượng sĩ
BÀI TOÁN: Cho $n\in \mathbb{N}$. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện:
$C_{n}^{0}f(x)+C_{n}^{1}f(x^{2})+...+C_{n}^{n}f(x^{2^{n}})=0$, với mọi $x$.
$C_{n}^{0}f(x)+C_{n}^{1}f(x^{2})+...+C_{n}^{n}f(x^{2^{n}})=0$, với mọi $x$.
cnt
#2
Đã gửi 14-02-2013 - 11:02
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Đặt $\varphi_n(x)=\sum\limits_k=0^n C_n^k f(x^{2^k}).$BÀI TOÁN: Cho $n\in \mathbb{N}$. Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện:
$C_{n}^{0}f(x)+C_{n}^{1}f(x^{2})+...+C_{n}^{n}f(x^{2^{n}})=0$, với mọi $x$.
Ta có:$$\begin{align*}
&(i) \varphi_n(x)=0 \forall x\in \mathbb{R} \\
&(ii) \varphi_{n-1}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^k f(x^{2^k}) \\
&(iii)\varphi_{n-1}(x^2)=\sum\limits_{k=1}^n C_{n-1}^{k-1}f(x^{2^k}) \\
&(iv)\varphi_{n-1}(x)+\varphi_{n-1}(x^2)=...=\varphi_n(x)=0
\end{align*}$$
Dựa và tính liên tục của hàm $f$ trên $\mathbb{R}$, ta xét các trường hợp $$x=0;0<x<1;x<0$$
Cuối cùng ta có $f(x)=0 \forall x\in \mathbb{R}$
- perfectstrong yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
