Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{3+2(a^2-bc)}+\frac{1}{3+2(b^2-ac)}+\frac{1}{3+2(c^2-ab)}\geq 1$$
Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c,d>0$.Chứng minh:
$$\sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}\geq \sqrt[3]{\frac{abc+bcd+acd+abd}{3}}$$

[BoBoiBoy]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{3+2(a^2-bc)}+\frac{1}{3+2(b^2-ac)}+\frac{1}{3+2(c^2-ab)}\geq 1$$

Ta có:
$\sum \frac{1}{3+2(a^2-bc)}=\sum \frac{1}{3+2(a^2+ab+ac-1)}=\sum \frac{1}{1+2a(a+b+c)}=\sum \frac{1}{1+2x}$
(với $a(a+b+c)=x;b(a+b+c)=y;c(a+b+c)=z$)
$\sum \frac{1}{1+2x}\geq 1\Leftrightarrow \sum(1+2x)(1+2y)\geq(1+2x)(1+2y)(1+2z)$
$\Leftrightarrow x+y+z+1\geq 4xyz$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^2+1\geq 4abc(a+b+c)^3$
Đặt $a+b+c=p;ab+bc+ca=q=1;abc=r$.Cần chứng minh:$p^2+1\geq 4rp^3$(1)
Ta có:$pq^2+3qr-4p^2r=a^3(b-c)^2+b^3(c-a)^2+c^3(a-b)^2\geq 0$
$\Rightarrow pq^2+3qr\geq 4p^2r\Rightarrow p+3r\geq 4p^2r$(do $q=1$)
$\Rightarrow 4p^3r\leq p^2+3pr \leq p^2+q^2=p^2+1$
Do đó (1) được chứng minh.
Vậy BĐT được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 09-09-2012 - 16:36

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c,d>0$.Chứng minh:
$$\sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}\geq \sqrt[3]{\frac{abc+bcd+acd+abd}{3}}$$

Chuẩn hóa : $ab+ac+ad+bc+bd+cd= 6$
Bất đẳng thức trở thành $abc+bcd+cda+dab\leq 4$
WLOG assume $a\geq b\geq c\geq d$
Theo $Cauchy-Schwarz$
$VT^{2}\leq (ab+bc+cd+da)(abc^2+bcd^2+cda^2+dab^2)$
$= (ab+bc+cd+da)[ac(bc+da)+bd(ab+cd)]$
Do $a\geq b\geq c\geq d$ nên dễ thấy $ac\geq bd$ và
$(bc+da)-(ab+cd)= -(a-c)(b-d)\leq 0$ $\Rightarrow ab+cd\leq bc+da$
Thế nên áp dụng $Chebyshev$ ta được
$ac(bc+da)+bd(ab+cd)\leq \frac{(ac+bd)[(bc+da)+(ab+cd)]}{2}$
Từ hai dòng màu đỏ ta có được
$VT^2\leq \frac{(ab+bc+cd+da)^2(ac+bd)}{2}= \frac{(6-ac-bd)^2(2ac+2bd)}{4}$
Mà theo AM-GM $\frac{(6-ac-bd)^2(2ac+2bd)}{4}\leq \frac{1}{4}.[\frac{2(6-ac-bd)+2(ac+bd)}{3}]^3= 16$
Suy ra $VT^2\leq 16\Rightarrow VT\leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 09-09-2012 - 17:19