Bài toán 1: Cho $a,b,c>0$ có tích bằng 1.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \ge \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}$$
Lời giải dành cho bài toán 1 phải nói là rất nhiều,ấn tượng nhất là lời giải bằng cách cổ điển.
Và thật tình cờ,mình đã đọc được 1 bài toán cũng có hình thức giống hệt nhưng chỉ sai khác về mặt giả thuyết:
Bài toán 2: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2} \ge \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}$$
Sau đây là tổng quát cho bài toán 2:
Tổng quát: Cho $x_1;x_2;...x_{n}>0$ thỏa mãn:$S=\sum_{k=1}^{n}x_{k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}}$.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n-1+x_{k}} \ge \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+S-x_{k}}$$
Vậy thực ra giữa 2 giả thuyết của 2 bài toán trên có liên hệ gì mà lại cho ra cùng 1 BĐT ? và liệu ta có thể tổng quát bài toán 1 theo hướng của bài toán 2 được hay không ? Mong nhận được đóng góp và ý kiến từ các bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-09-2012 - 19:45