Tìm các số nguyên tố p; q sao cho $p^3 -q^5 = (p+q)^2$
Giải như sau:TH1: $p\neq q$
$p^3=q^5+p^2+2pq+q^2 \Rightarrow p^3-p^2 \vdots q \Rightarrow p^2(p-1) \vdots q \Rightarrow p-1 \vdots q$ (do $p\neq q$)
$p^3=q^5+p^2+2pq+q^2 \Rightarrow q^5+q^2 \vdots p \Rightarrow q^2(q^3+1) \vdots p \Rightarrow q^3+1 \vdots p$
Như vậy ta có
$p-1 \vdots q$
$q^3+1 \vdots p$
Đặt $p-1=qk \Rightarrow p=qk+1$
Suy ra $q^3+1=pr=(qk+1)r \Rightarrow q^3=qkr+(r-1) \Rightarrow r-1 \vdots q \Rightarrow r-1=qt \Rightarrow r=qt+1$
Do đó $q^3=qk(qt+1)+qt \Rightarrow q^3=q^2kt+q(k+t) \Rightarrow q^2=qkt+(k+t)$
Suy ra $q^2-q(kt)-(k+t)=0$
$\Rightarrow \Delta_q=(kt)^2+4(k+t)=x^2$ (là số chính phương vì $q$ nguyên)
Ta lại thấy nếu $k=0 \Rightarrow p-1=qk=0 \Rightarrow p=1$ vô lí còn nếu $k=1 \Rightarrow p-1=q \Rightarrow p=3,q=2$ thay vào suy ra loại, do đó $k\geq 2$
Ta cũng có $r>0$ còn nếu $r=1 \Rightarrow q^3+1=r \Rightarrow (q+1)(q^2-q+1)=r$ mà $q+1>1$ nên suy ra $q^2-q+1=1 \Rightarrow q(q-1)=0$ suy ra vô lí như vậy $r\geq 2$ khi đó $r-1=qt \Rightarrow t\geq 1$
Ta có $(kt)^2+4(k+t)=x^2$
Dễ thấy $(kt)^2+4(k+t)>(kt)^2$
Mặt khác $(kt)^2+4(k+t)\le (kt)^2+4(kt)+4$ (do $4(kt)+4-4(k+t)=4(kt-k-t+1)=4(k-1)(t-1)\geq 0$
Do đó $(kt)^2<x^2\le (kt+2)^2$ suy ra $x=kt+1,kt+2$
Nếu $x=kt+1 \Rightarrow 4(k+t)=2(kt)+1 \Rightarrow$ loại
Nếu $x=kt+2 \Rightarrow 4(k+t)=4kt+4 \Rightarrow 4(k-1)(t-1)=0 \Rightarrow t=1$ (do $k\geq 2$)
Như vậy $t=1 \Rightarrow r-1=q \Rightarrow r=q+1$
Mặt khác $q^3+1=pr=(q+1)p \Rightarrow q^2-q+1=p$
Trở lại phương trình ở đề bài ta có $p^3-q^5=(p+q)^2 \Rightarrow p^3=q^5+(p+q)^2 \Rightarrow (q^2-q+1)^3-q^5-(q^2-q+1+q)^2=0$
$\Rightarrow (q-3)q(q^2+q)(q^2-q+1)=0 \Rightarrow q=3 \Rightarrow p=7$
TH2: $p=q \Rightarrow p^3-p^5=(p+q)^2 \Rightarrow p^3-p^5>0$ suy ra vô lí
Vậy $\boxed{(p,q)=(7,3)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-09-2012 - 15:43
