Chủ đề này có 1 trả lời

[jandithuhoai25]

Tam giác đều ABC có trọng tâm O. Từ M bất kì hạ MF, ME, MD vuông góc đến AB,AC,BC.
Cm: $\underset{MF}{\rightarrow} +\underset{ME}{\rightarrow} +\underset{MD}{\rightarrow} = \frac{3}{2}\underset{MO}{\rightarrow}$

[nthoangcute]

Cho $\triangle ABC$ đều tâm O, M bất kì trong $\triangle$. D,E,F là hình chiếu của M lên BC,CA,AB. Chứng minh: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

Nhìn cái cách kia mà sợ !

Bài làm
Qua M kẻ $I_2I_5;I_1I_4;I_3I_6$ lần lượt song song $BC;AC;AB$
Ta có các tam giác $MI_5I_6;MI_1I_2;MI_3I_4$ là các tam giác đều.
Suy ra : $DI_3=DI_4; FI_1=FI_2;EI_5=EI_6$
Ta có: $\overrightarrow{MI_3}+\overrightarrow{MI_4}=2.\overrightarrow{MD}$
Tương tự: $\overrightarrow{MI_6}+\overrightarrow{MI_5}=2.\overrightarrow{ME}$
$\overrightarrow{MI_1}+\overrightarrow{MI_2}=2.\overrightarrow{MF}$
Cộng vế với vế ta có:
$$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}.(\overrightarrow{MI_6}+\overrightarrow{MI_5}+\overrightarrow{MI_3}+\overrightarrow{MI_4}+\overrightarrow{MI_1}+\overrightarrow{MI_2})$$
Nên: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$ (tính chất trọng tâm tam giác)