Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenta98]

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$
Tia phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $F$
Giả dụ $BF + FA = BC$
Tính các góc tam giác

[BlackSelena]

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$
Tia phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $F$
Giả dụ $BF + FA = BC$
Tính các góc tam giác

Để thuân tiện, ta đặt $\angle B = 2x$
Trên tia $BF$ lấy điểm $M$ sao cho $BM = BC$, kẻ đường thẳng song song với $BC$ từ $F$ cắt $AB,MC$ tại $P,N$
Khi đó $\angle BMC=\angle BCM=90^\circ-{x\over 2}\implies \angle FNM=\angle BCM=90^\circ-{x\over 2}$
$\angle FCN=90^\circ-{5x\over 2}$
Vậy $\triangle MFN$ cân,
$\Rightarrow MF = FN = FA$
$\angle MFC=\angle FBC+\angle FCB=3x$
$\angle MFN=\angle MBC=x\implies\angle NFC=\angle AFP=2x$ and $\angle PFB=x$
Dễ dàng chứng minh $\triangle APF = \triangle CFN$
$\Rightarrow \triangle NFC$ cân tại $N$
Vậy $2x=90^\circ-{5x\over 2}\iff {9x\over 2}=90^\circ\iff x=20^\circ$
Vậy $\angle BAC = 100^o$, $\angle ABC = \angle ACB = 40^o$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 17-09-2012 - 20:39

[Tru09]

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$
Tia phân giác góc $B$ cắt $AC$ tại $F$
Giả dụ $BF + FA = BC$
Tính các góc tam giác

Bài giải
Kẻ $DX // BC $:
Lấy $E$ trên $ BC$ sao cho $BE =BD$
Theo giả thiết $\Rightarrow AD=EC (1)$
Ta có :
Theo t/c phân giác $\Rightarrow \frac{AD}{DC} =\frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{BC+AB} \Rightarrow AD =\frac{AB.AC}{BC+AB}$
CMTT $\Rightarrow DC =\frac{BC.AC}{BC+AB} =\frac{BC.AB}{AB+BC} :\text{Vì $\Delta ABC$ cân tại A}$
Vì kẻ $// \Rightarrow \frac{DX}{BC} =\frac{AD}{AC} =\frac{\frac{AB.AC}{BC+AB}}{AC} =\frac{AB}{BC+AB} \Rightarrow DX =\frac{BC.AB}{AB+BC}$
Do đó $DX=DC (2)$
Từ (1) và (2) cộng với $\angle DCE =\angle ADX$
$\Rightarrow \Delta ADX =\Delta EDC$
$\Rightarrow DE =EC$
Đến đây mọi chuyện đã dễ thở:
$\angle BDC =\frac{\angle B}{2} +\angle A$
mà $\angle BDC =\angle BDE +\angle EDC =\angle BED +\angle C =180^0 - \angle A +\angle C$
$\Rightarrow \frac{\angle B}{2} +\angle A = 180^0 - \angle A +\angle C$
$\Rightarrow 2\angle A =180 +\frac{\angle C}{2}$
$\Rightarrow 2(180-2\angle C) =180 +\frac{\angle C}{2}$
$\Rightarrow 360 -4\angle C =180 +\frac{\angle C}{2}$
$\Rightarrow 360 =9\angle C$
$\Rightarrow \angle C =40^o$
$\Rightarrow \angle B =40^o$
$\Rightarrow \angle A =100^o$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 17-09-2012 - 20:38

[BlackSelena]

Bài giải
Kẻ $DX // BC $:
Lấy $E$ trên $ BC$ sao cho $BE =BD$
Theo giả thiết $\Rightarrow AD=EC (1)$
Ta có :
Theo t/c phân giác $\Rightarrow \frac{AD}{DC} =\frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{BC+AB} \Rightarrow AD =\frac{AB.AC}{BC+AB}$
CMTT $\Rightarrow DC =\frac{BC.AC}{BC+AB} =\frac{BC.AB}{AB+BC} :\text{Vì $\Delta ABC$ cân tại A}$
Vì kẻ $// \Rightarrow \frac{DX}{BC} =\frac{AD}{AC} =\frac{\frac{AB.AC}{BC+AB}}{AC} =\frac{AB}{BC+AB} \Rightarrow DX =\frac{BC.AB}{AB+BC}$
Do đó $DX=DC (2)$
Từ (1) và (2) cộng với $\angle DCE =\angle ADX$
$\Rightarrow \Delta ADX =\Delta EDC$
$\Rightarrow DE =EC$
Đến đây mọi chuyện đã dễ thở:
$\angle BDC =\frac{\angle B}{2} +\angle A$
mà $\angle BDC =\angle BDE +\angle EDC =\angle BED +\angle C =180^0 - \angle A +\angle C$
$\Rightarrow \frac{\angle B}{2} +\angle A = 180^0 - \angle A +\angle C$
$\Rightarrow 2\angle A =180 +\frac{\angle C}{2}$
$\Rightarrow 2(180-2\angle C) =180 +\frac{\angle C}{2}$
$\Rightarrow 360 -4\angle C =180 +\frac{\angle C}{2}$
$\Rightarrow 360 =9\angle C$
$\Rightarrow \angle C =40^o$
$\Rightarrow \angle B =40^o$
$\Rightarrow \angle A =100^o$

Việc chứng minh $DX = DC$ có nhất thiết phải "giết gà bằng dao mổ trâu thế không" ?
Ta có $DXBC$ là hình thang cân và $BD$ là tia phân giác.