Đến nội dung


Hình ảnh

Cho $a,b>0$. CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge 32\frac{a^2+b^2}{(a+b)^4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 460 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-09-2012 - 21:16

Cho $a,b>0$. CMR:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge 32\frac{a^2+b^2}{(a+b)^4}$$

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-09-2012 - 21:50

Cho $a,b>0$. CMR:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge 32\frac{a^2+b^2}{(a+b)^4}$$

Bằng những phép biến đổi tương đương đơn giản ta có:
$$Q.e.D\Leftrightarrow (a-b)^4.\frac{a^4+8a^3b+6a^2b^2+8ab^3+b^4}{a^2b^2(a^2+b^2)(a+b)^4}\geq 0$$
Vậy ta có ĐPCM.Dấu bằng xảy ra tại $a=b$ $\square$

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-09-2012 - 22:07

Lời giải của WhjteShadow rất thú vị, nhưng không phải ai cũng nghĩ ra nếu không biết được sự thật!!!!
Bằng AM-GM ta có: $ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2} \ge \sqrt{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^2+b^2})}=\frac{4}{ab}$
ta sẽ chứng minh
$(a+b)^4 \ge 4ab(a^2+b^2)$ hay là: $(a-b)^4 \ge 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 19-09-2012 - 18:32


#4 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 19-09-2012 - 18:17

Nhưng không phải ai cũng nghĩ ra!!

Kinh vậy :lol: :lol: :lol:

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#5 bdtilove

bdtilove

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-09-2012 - 18:31

Kinh vậy :lol: :lol: :lol:

Sax!! Tui nói lời giải của WhjteShadow mà! Đâu phải của tui đâu!! Để Edit lại cho an toàn!!

#6 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 19-09-2012 - 23:07

Ok sorry

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh