Chủ đề này có 2 trả lời

[Oral1020]

Chứng minh các bất đẳng thức sau đây
a) $\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a$ với mọi $a>b>0$
b)$4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2 \geqslant 0$
c)$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1$

[duongchelsea]

Chứng minh các bất đẳng thức sau đây
c)$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1$

$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}$
Áp dụng vào bài toán ta có:
$VT<\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}=1-\frac{1}{n}<1$ (đpcm)

[nk0kckungtjnh]

Chứng minh các bất đẳng thức sau đây
a) $\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a$ với mọi $a>b>0$
b)A=$4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2 \geqslant 0$

A=4$(a^{2}+a+ab)$$(a^{2}+a+b+ab)+b^2$
Đặt a^{2}+a+ab=t thì ta có:
A=$4t(t+b)+b^2=(2t)^{2}+b^2+4bt=(2t+b)^{2}$ $\geq 0$.


b) Bình fương 2 vế:
+) VP=$a^2$
+) VT:
$[\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}]^{2}=(a^2-b^2)+(2ab-b^2)+2.(\sqrt{a^2-b^2}.\sqrt{2ab-b^2})$
$=a^2-2b(b-a)+2.\sqrt{a^2-b^2}.\sqrt{2ab-b^2}$
Nhận xét: Khi $-2b(b-a)+2.\sqrt{a^2-b^2}.\sqrt{2ab-b^2} >0$ thì VT>VP
Vậy: để chứng minh VP>VT ta sẽ chứng minh
$2.\sqrt{a^2-b^2}.\sqrt{2ab-b^2}>2b(b-a)$
Nên sẽ So Sánh bình fương chúng

-----------------------------------

Ta có:
$2a^{2}b>ab^{2}-ab^{2} \Rightarrow 2a^{2}b+ab^{2}-b^{3}>ab^{2}-b^{3}$
$\Rightarrow 2a^{2}b+2ab^{2}-ab^{2}-b^{3}>ab^{2}-b^{3}$
$\Rightarrow (a+b)(2ab-b^{2})>b^{2}(a-b)$
$\Rightarrow 4.(a^{2}-b^{2})(2ab-b^{2})>4.b^{2}(a-b)^{2}$
Vậy: $2.\sqrt{a^2-b^2}.\sqrt{2ab-b^2}>-2b(b-a)$
ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 19-09-2012 - 19:40