Chủ đề này có 4 trả lời

[ht2pro102]

Bài 1 (2đ): Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x(y+z)=x^2+2 & & \\ y(z+x)=y^2+3& & \\ z(x+y)=z^2+4& & \end{matrix}\right.$
Với các số thực x,y,z
Bài 2 (2đ): Cho tam giác ABC với O,I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp vs nội tiếp tam giác.Chứng minh rằng $\widehat{AIO}\leqslant 90^{\circ} \Leftrightarrow AB+AC\geqslant 2BC$
Bài 3 (2đ): Cho x,y,z là các số thực dương.CMR
$$6(x^3+y^3+z^3)\geqslant 18xyz +(\sqrt[3]{x(y-z)^2}+\sqrt[3]{y(x-z)^2} + \sqrt[3]{z(x-y)^2} )^3$$
Bài 4 (2đ): Tìm tất cả các hàm số$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$f(xf(y))+ f(f(x)+f(y))=yf(x) + f(x+f(y)) \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$
Bài 5 (2đ):Cho đường tròn (O) và các đường tròn $(O_{1}),(O_{2}),(O_{3})$ cùng tiếp xúc trong với (O) và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Các điểm $A_{1},A_{2},A_{3}$ theo thứ tự là tiếp điểm của (O) với $(O_{1}),(O_{2}),(O_{3})$.Các điểm $B_{1},B_{2},B_{3}$ theo thứ tự là tiếp điểm của các cặp đường tròn $(O_{2}),(O_{3}) ; (O_{3}),(O_{1}) ; (O_{1}),(O_{2})$
a) Chứng minh rằng $O_{1}B_{1},O_{2}B_{2},O_{3}B_{3}$ đồng quy tại I
b)Chứng minh $A_{1}B_{1},A_{2}B_{2},A_{3}B_{3}$ đồng quy tại K
c) Chứng minh rằng ba điểm I,O,K thẳng hàng
_______________________________________________HẾT________________________________________________

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ht2pro102: 22-09-2012 - 22:52

[davildark]

Bài 3 cho x ,y , z < 1 bdt sai
Bài 5
a) Ceva
Gọi $I'$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ O_{1},O_{2},O_{3} \right \}$ với hệ số $\left \{\dfrac{1}{R_{1}} , \dfrac{1}{R_{2}} , \dfrac{1}{R_{3}}\right \}$
Dễ dàng CM $I\equiv I'$
b) Tham khảo sách " Tài liệu chuyên toán hình học 10 "
Khi đó K là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ O, O_{1},O_{2},O_{3} \right \}$ với hệ số $\left \{-\dfrac{1}{R},\dfrac{1}{R_{1}} , \dfrac{1}{R_{2}} , \dfrac{1}{R_{3}}\right \}$
c)
Ta có theo câu b
$-\dfrac{1}{R}\overrightarrow{KO}+\dfrac{1}{R_{1}}\overrightarrow{KO_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}\overrightarrow{KO_{2}}+\dfrac{1}{R_{3}}\overrightarrow{KO_{3}}=0)$
Theo câu a) thì $\dfrac{1}{R_{1}}\overrightarrow{KO_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}\overrightarrow{KO_{2}}+\dfrac{1}{R_{3}}\overrightarrow{KO_{3}}=(\dfrac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\dfrac{1}{R_{3}}) \overrightarrow{KI}$
$\Rightarrow -\dfrac{1}{R}\overrightarrow{KO}+(\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}+\dfrac{1}{R_{3}})\overrightarrow{KI}=0$
$\Rightarrow$ I , O , K thẳng hàng

[Cao Xuân Huy]

Lâu lâu post bài cái coi
Bài 1:
Tóm tắt:

\[hpt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = x + \frac{2}{x}\\z + x = y + \frac{3}{y}\\x + y = z + \frac{4}{z}\end{array} \right.\]
Cộng lần lượt theo vế các pt:

\[\left\{ \begin{array}{l}2z = \frac{2}{x} + \frac{3}{y}\\2x = \frac{3}{y} + \frac{4}{z}\\2y = \frac{2}{x} + \frac{4}{z}\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{zx}} + \frac{3}{{yz}} = 2\\\frac{3}{{xy}} + \frac{4}{{zx}} = 2\\\frac{1}{{xy}} + \frac{2}{{yz}} = 1\end{array} \right.\]
Tới đây chắc khỏe rồi.
Bài 3:
Dùng Holder:
\[(1 + 1 + 1)\left( {x + y + z} \right)\left[ {\sum\limits_{cyc} {{{(y - z)}^2}} } \right] \ge {\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{x{{(y - z)}^2}}}} } \right)^3}\]

[robin997]

Bài 4 (2đ): Tìm tất cả các hàm số$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$f(xf(y))+ f(f(x)+f(y))=yf(x) + f(x+f(y)) \forall x,y \epsilon \mathbb{R}(*)$

Bài 4:
-Ta có $f(x)=0$ thỏa phương trình!
-Nếu $f(x)$ không luôn luôn bằng 0:
-Xét tồn tại $x_0$ sao cho: $f(x_0)\neq 0$
-Ta có $f$ là đơn ánh.
Thật vậy, lấy $y_1$ và $y_2$ (thuộc R) sao cho: $f(y_1)=f(y_2)=a$
Từ $(*)$, ta có: $y_1f(x_0)=y_2f(x_0)=f(x_0a)+f(f(x_0)+a)-f(x_0+a)$
Suy ra: $y_1=y_2$. Theo đó, f đơn ánh.
-Lấy $y=0$ và $x=n$
$(*)\Rightarrow f(nf(0))+f(f(n)+f(0))=f(n+f(0))$ $(1)$
-Lấy $x=0$ và $y=n$
$(*)\Rightarrow f(0)+f(f(0)+f(n))=nf(0)+f(f(n))$ $(2)$
-Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra:
$f(0)-f(nf(0))=nf(0)+f(f(n))-f(n+f(0))$ $(3)$
Lấy n=1 lần lượt ở $(3)$ và $(1)$, ta được:
$-f(f(0))=f(f(1))-f(1+f(0))$
Và $f(f(0))+f(f(1)+f(0))=f(1+f(0))$
Suy ra: $f(f(1))=f(f(1)+f(0))$
Do tính đơn ánh của $f$, ta có $f(0)=0$
-Từ $(1)$, ta có:
$f(f(n))=f(n)\Rightarrow f(n)=n$
-Vậy pt có nghiệm: $f(x)=x$
Và $f(x)=0$ (srr,mình thiếu :")

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 23-09-2012 - 17:16

[BoFaKe]

Bài 4:
-Ta có $f(x)=0$ thỏa phương trình!
-Nếu $f(x)$ không luôn luôn bằng 0:
-Xét tồn tại $x_0$ sao cho: $f(x_0)\neq 0$
-Ta có $f$ là đơn ánh.
Thật vậy, lấy $y_1$ và $y_2$ (thuộc R) sao cho: $f(y_1)=f(y_2)=a$
Từ $(*)$, ta có: $y_1f(x_0)=y_2f(x_0)=f(x_0a)+f(f(x_0)+a)-f(x_0+a)$
Suy ra: $y_1=y_2$. Theo đó, f đơn ánh.
-Lấy $y=0$ và $x=n$
$(*)\Rightarrow f(nf(0))+f(f(n)+f(0))=f(n+f(0))$ $(1)$
-Lấy $x=0$ và $y=n$
$(*)\Rightarrow f(0)+f(f(0)+f(n))=nf(0)+f(f(n))$ $(2)$
-Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra:
$f(0)-f(nf(0))=nf(0)+f(f(n))-f(n+f(0))$ $(3)$
Lấy n=1 lần lượt ở $(3)$ và $(1)$, ta được:
$-f(f(0))=f(f(1))-f(1+f(0))$
Và $f(f(0))+f(f(1)+f(0))=f(1+f(0))$
Suy ra: $f(f(1))=f(f(1)+f(0))$
Do tính đơn ánh của $f$, ta có $f(0)=0$
-Từ $(1)$, ta có:
$f(f(n))=f(n)\Rightarrow f(n)=n$
-Vậy pt có nghiệm: $f(x)=x$
Và $f(x)=0$ (srr,mình thiếu :")

Cho tôi xin cái tài liệu về mấy cái phương trình hàm này với.Làm mà chả quen gì cả,chán quá.