Chủ đề này có 1 trả lời

[dohuuthieu]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geqslant \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-09-2012 - 14:49

[tim1nuathatlac]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\geqslant \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

$\sum \frac{1}{1+ab}=3-\sum \frac{ab}{1+ab}\geq 3-\sum \frac{\sqrt{ab}}{2}=\frac{15-\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^{2}}{4}$

Đặt $t=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ $\Rightarrow t\in \left [ \sqrt{3};3 \right ]$

Ta cần cm $\frac{15-t^{2}}{4}\geq \frac{9}{2t}\Leftrightarrow \left ( t-3 \right )\left ( t+\frac{3+\sqrt{33}}{3} \right )\left ( t-\frac{3-\sqrt{33}}{2} \right )\leq 0$

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu '=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 14-10-2012 - 10:24