Chủ đề này có 16 trả lời

[keobongyeutoan9x]

1.a,b,c>0 ; ab + bc + ac = abc.
cm: $\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}{ab}$ + $\frac{\sqrt{b^{2}+2c^{2}}}{bc}$ + $\frac{\sqrt{c^{2}+2a^{2}}}{ac}$ $\geqslant \sqrt{3}$
2. .a,b,c>0 ; abc=1
Tìm Min S= $\frac{a^{2}.(b+c)}{b\sqrt{b}+ 2. c\sqrt{c}}$ + $\frac{b^{2}.(c+a)}{c\sqrt{c}+ 2.a\sqrt{a}}$ + $\frac{c^{2}.(a+b)}{a\sqrt{a}+ 2.b\sqrt{b}}$
3. a,b,c>0
Tìm Min S= $x. (\frac{x}{2}+\frac{1}{yz}) + y. (\frac{y}{2} +\frac{1}{xz}) + z. (\frac{z}{2}+\frac{1}{xy})$
-----------------------------------
Đặt tiêu đề đúng quy định em nhé Tham khảo về cách đặt tiêu đề tại:
http://diendantoanho...i-khong-bị-xoa/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-09-2012 - 22:37

[Tru09]

3
Tìm Min S= $x. (\frac{x}{2}+\frac{1}{yz}) + y. (\frac{y}{2} +\frac{1}{xz}) + z. (\frac{z}{2}+\frac{1}{xy})$

Bài làm:
$S \geq \sum (\frac{x^2}{2} +\frac{x}{2y^2} +\frac{x}{2z^2}) \geq 9\sqrt[9]{\frac{x^4y^4z^4}{2^9x^4y^4z^4}} =\frac{9}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

[dohuuthieu]

Bài 2:ta có $a^{2}(b+c)\geqslant 2a^{2}\sqrt{bc}=2a\sqrt{a}$
Tương tự đối với các tử còn lại.
Đặt $x=a\sqrt{a}$,$y=b\sqrt{b}$,$z=c\sqrt{c}$
Ta cm được $\frac{x}{y+2z}+\frac{z}{x+2y}+\frac{y}{z+2x}\geqslant 1$
Vậy mins=2 khi và chỉ khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dohuuthieu: 22-09-2012 - 23:22

[keobongyeutoan9x]

cam on moi nguoi nhieu nha. the con bai 1 co ai lam dc ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi keobongyeutoan9x: 23-09-2012 - 08:45

[keobongyeutoan9x]

1. Với a,b,c là số thực bất kỳ thỏa mãn a+b+c =0
cm: $8^{a}+ 8^{b}+8^{c}\geq 2^{a}+ 2^{b}+2^{c}$
2. cm: $\left ( \frac{x+y+z}{a+b+c} \right )^{a+b+c}\geq \left ( \frac{x}{a} \right )^{a}.\left (\frac{y}{b}\right )^{b}. \left (\frac{z}{c}\right )^{c}$ với a,b,c, x, y, z > 0 và a,b,c $\epsilon Z$
3. cho $a_{i}>0 ; I= 1;2;..;n ; a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$
cm: $\frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi keobongyeutoan9x: 23-09-2012 - 09:24

[HÀ QUỐC ĐẠT]

1,
$ab+bc+ca=abc\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$
Theo Cauchy-Schwarz:
$\sqrt{a^{2}+2b^{^{2}}}\geq \frac{a+2b}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{b+2c^{2}}\geq \frac{b^{2}+2c}{\sqrt{3}}$
$\sqrt{c^{2}+2a^{2}}\geq \frac{c+2a}{\sqrt{3}}$
$ \Rightarrow \sum\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}{ab}\geq \sqrt{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 23-09-2012 - 09:11

[keobongyeutoan9x]

1.a,b,c>0; $x^{2}+y^{2}=1. cm: \sqrt{2}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$
2. a,b,c>0 thoả mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2 thì abc \leq \frac{1}{8}$
3. Cho$x+y+z=5 và x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$
cm: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi keobongyeutoan9x: 23-09-2012 - 12:01

[WhjteShadow]

1. Với a,b,c là số thực bất kỳ thỏa mãn a+b+c =0
cm: $8^{a}+ 8^{b}+8^{c}\geq 2^{a}+ 2^{b}+2^{c}$
2. cm: $\left ( \frac{x+y+z}{a+b+c} \right )^{a+b+c}\geq \left ( \frac{x}{a} \right )^{a}.\left (\frac{y}{b}\right )^{b}. \left (\frac{z}{c}\right )^{c}$ với a,b,c, x, y, z > 0 và a,b,c $\epsilon Z$
3. cho $a_{i}>0 ; I= 1;2;..;n ; a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$
cm: $\frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$

1.Đặt $2^{a}=x,2^{b}=y,2^{c}=z$ thì $xyz=2^0=1$,$x,y,z>0$ và ta viết lại điều phải chứng minh thành:
$$x^3+y^3+z^3\geq x+y+z$$
Do $xyz=1$ nên $x+y+z\geq 3$ và the0 $AM-GM$ thì:
$$x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)\geq x+y+z+6$$
$$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\geq x+y+z$$
Ta có điều phải chứng minh $\square$
2.Ta có
$$Q.e.D\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{a+b+c}\geq \left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{a}{a+b+c}}+\left(\frac{y}{b}\right)^{\frac{b}{a+b+c}}+\left(\frac{z}{c}\right)^{\frac{c}{a+b+c}}$$
Do $\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1$ nên áp dụng $AM-GM$ suy rộng ta có:
$$\left(\frac{x}{a}\right)^{\frac{a}{a+b+c}}+\left(\frac{y}{b}\right)^{\frac{b}{a+b+c}}+\left(\frac{z}{c}\right)^{\frac{c}{a+b+c}}\leq \frac{x}{a}.\frac{a}{a+b+c}+\frac{y}{b}.\frac{b}{a+b+c}+\frac{z}{c}.\frac{c}{a+b+c}$$
$$=\frac{x+y+z}{a+b+c}$$
Ta có điều phải chứng minh $\blacksquare$
3,Do vai trò $a_1,a_2,.....,a_n$ như nhau nên ta giả sử $a_1\geq a_2\geq ....\geq a_n$ thì có 2 bộ đơn điệu tăng sau:
$$a_1\geq a_2\geq ....\geq a_n$$
$$\frac{1}{2-a_{1}}\geq \frac{1}{2-a_{2}}\geq...\geq \frac{1}{2-a_{n}}$$
Áp dụng $Chebyshev$ và $AM-GM$ dạng cộng mẫu ta có:
$$\frac{a_{1}}{2-a_{1}}+...+\frac{a_{n}}{2-a_{n}}\geq \frac{1}{n}(a_1+a_2+...+a_n)\left(\frac{1}{2-a_1}+\frac{1}{2-a_2}+...+\frac{1}{2-a_n}\right)$$
$$=\frac{1}{n}.\left(\frac{1}{2-a_1}+\frac{1}{2-a_2}+...+\frac{1}{2-a_n}\right)\geq \frac{1}{n}\frac{n^2}{2n-(a_1+a_n+...+a_n)}$$
$$=\frac{n}{2n-1}$$
Kết thúc chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau và $=\frac{1}{n}$ $\blacksquare$
3 bài tiếp the0 quá quen thuộc.Xin nhường các em THCS

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-09-2012 - 12:18

[BlackSelena]

2. a,b,c>0 thoả mãn $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2 thì abc \leq \frac{1}{8}$

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{1+a} \geq \frac{b}{1+b} + \frac{c}{1+c} \geq 2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}$
Thiết lập các bđt tương tự, nhân vế với vế, ta có:
$\frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c} \geq \frac{8abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
$\Leftrightarrow abc \leq \frac{1}{8}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c = \frac{1}{2}$

[Tru09]

1.a,b,c>0; $x^{2}+y^{2}=1. cm: \sqrt{2}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

Chém nào :
Ta có :
a,$1=x^2 +y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} $
$\Rightarrow \sqrt{2} \geq x+y$
Mặt khác theo buniacopsky ta có :
$(x+y)(x^3 +y^3) \geq 1$
$\Rightarrow x^3+ y^3 \geq \frac{1}{x+y} \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$
Dấu $=$ sảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Chả biết thế nào nữa T_T
------------------------

$x=y=0$ thì phân thức $\frac{1}{x+y}$ đâu xác định?

Nãy làm câu b . sai nên tớ xóa đi ,quên cái phần dấu = chưa xóa hì hì .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 23-09-2012 - 22:55

[BlackSelena]

Chém nào :
Ta có :
a,$1=x^2 +y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2} $
$\Rightarrow \sqrt{2} \geq x+y$
Mặt khác theo buniacopsky ta có :
$(x+y)(x^3 +y^3) \geq 1$
$\Rightarrow x^3+ y^3 \geq \frac{1}{x+y} \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$
Dấu $=$ sảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Chả biết thế nào nữa T_T
Dấu = sảy ra khi và chỉ khi x=y=0

$x=y=0$ thì phân thức $\frac{1}{x+y}$ đâu xác định?

[triethuynhmath]

3. Cho$x+y+z=5 và x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$
cm: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

Còn mỗi câu này:
Từ giả thiết ta suy ra: $xy+yz+zx=8\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=5-x \\ yz=8-x(y+z)=8-5x+x^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow (5-x)^2\geq 4(x^2-5x+8)\Rightarrow 3x^2-10x+7\leq 0\Leftrightarrow 1\leq x\leq \frac{7}{3}$
Tương tự cho $y,z$.XOng

[triethuynhmath]

3. a, :)b,c>0
Tìm Min S= $x. (\frac{x}{2}+\frac{1}{yz}) + y. (\frac{y}{2} +\frac{1}{xz}) + z. (\frac{z}{2}+\frac{1}{xy})$

Cách khác:$S=(\frac{1}{2}+\frac{1}{xyz})(x^2+y^2+z^2)\geq \frac{1}{2}.\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=\frac{9}{2}(Q.E.D)$

[keobongyeutoan9x]

x,y,z>0 và x+y+z=1
tìm Max S= $\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi keobongyeutoan9x: 04-10-2012 - 17:46

[keobongyeutoan9x]

1, Max? S= x² ($9.\sqrt{1+x^{4}}+13.\sqrt{1-x^{4}}$)
2, x,y,z$\geq 0$ ; x+y+z=1. Tìm Max? A=$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$
3, với a,b,c>0 và a² +b²+c² =1. CM: $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+ \frac{c}{a^{2}+b^{2}}$$\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi keobongyeutoan9x: 04-10-2012 - 23:56

[Tru09]

x,y,z>0 và x+y+z=1
tìm Max S= $\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}$

Bài làm
$\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z} \leq \sqrt[3]{9(x+y+z)} = \sqrt[3]{9}$
Dấu $=$ khi $x=y=z= \frac{1}{3}$

[keobongyeutoan9x]

có ai làm được những bài còn lại ko?