Chủ đề này có 2 trả lời

[danglequan97]

Chứng minh rằng với hàm số f(x) bất kì, f(x) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của 1 hàm số chẵn và 1 hàm số lẻ.

[triethuynhmath]

Chứng minh rằng với hàm số f(x) bất kì, f(x) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của 1 hàm số chẵn và 1 hàm số lẻ.

Câu này là kiến thức hàm số lớp 10 thôi:
Ta có: $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$
Đặt: $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x),\frac{f(x)-f(-x)}{2}=h(x)$Ta dễ dàng chứng minh được $g(x)$ là hàm số chẵn, $h(x)$ là hàm số lẻ. Nên $f(x)$ luôn viết được dưới dạng tổng 1 hàm số chẵn và lẻ.Bây giờ ta sẽ chứng minh cách viết này là duy nhất.Giả sử tồn tại 1 cách viết khác thỏa mãn,nghĩa là: $f(x)=g'(x)+h'(x)(g'(x) \neq g(x),h'(x) \neq h(x)$
Vậy ta suy ra: $g(x)-g'(x)=h'(x)-h(x)$
Ta dễ chứng minh hiệu 2 hàm lẻ là 1 hàm lẻ.Hiệu 2 hàm chẵn là 1 hàm chẵn nên vế trái chẵn,vế phải lẻ mà lại "=" nhau nên chúng đều là các đa thức $0$
Vậy $g(x)=g'(x),h'(x)=h(x)(VL)$
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 23-09-2012 - 13:34

[L Lawliet]

Câu này là kiến thức hàm số lớp 10 thôi:
Ta có: $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)+f(-x)}{2}$
Đặt: $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x),\frac{f(x)+f(-x)}{2}=h(x)$Ta dễ dàng chứng minh được $g(x)$ là hàm số chẵn, $h(x)$ là hàm số lẻ. Nên $f(x)$ luôn viết được dưới dạng tổng 1 hàm số chẵn và lẻ.Bây giờ ta sẽ chứng minh cách viết này là duy nhất.Giả sử tồn tại 1 cách viết khác thỏa mãn,nghĩa là: $f(x)=g'(x)+h'(x)(g'(x) \neq g(x),h'(x) \neq h(x)$
Vậy ta suy ra: $g(x)-g'(x)=h'(x)-h(x)$
Ta dễ chứng minh hiệu 2 hàm lẻ là 1 hàm lẻ.Hiệu 2 hàm chẵn là 1 hàm chẵn nên vế trái chẵn,vế phải lẻ mà lại "=" nhau nên chúng đều là các đa thức $0$
Vậy $g(x)=g'(x),h'(x)=h(x)(VL)$
Vậy ta có đpcm

Hình như phải là: $f\left ( x \right )=\dfrac{f\left ( x \right )+f\left ( -x \right )}{2}+\dfrac{f\left ( x \right )-f\left ( -x \right )}{2}$ chứ nhỉ?