Chủ đề này có 6 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Chứng minh rằng rồi tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^n+1\vdots n$.

[nguyenta98]

Bài toán: Chứng minh rằng rồi tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^n+1\vdots n$.

Giải như sau:
Ta thấy nếu $n$ là một số thỏa mãn $2^n+1 \vdots n$
Khi ấy ta chứng minh $n'=2^n+1$ thì $n'$ cũng thỏa mãn hay $2^{n'}+1 \vdots n'$
Thật vậy ta có $2^{n'}+1=2^{2^n+1}+1$ và $n'=2^n+1$
Ta lại có $2^n+1 \vdots n \Rightarrow 2^n+1=nk$ nên $n$ và $k$ lẻ
Do đó $2^{nk}+1 \vdots 2^n+1 \Rightarrow 2^{2^n+1}+1 \vdots 2^n+1 \Rightarrow 2^{n'}+1 \vdots n'$
Như vậy $n'$ cũng thỏa đề, do đó ta chỉ cần tìm số $n$ thỏa mãn là xong
Thấy $n=3$ thỏa mãn do $2^3+1 \vdots 3$
Như vậy $n'=2^3+1,n''=2^{2^3+1}+1,....$ từ đó suy ra vô hạn số $n$ thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 23-09-2012 - 14:39

[minhtuyb]

Bài toán: Chứng minh rằng rồi tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^n+1\vdots n$.

OTHER SOLUTION:
Ta sẽ chứng minh $2^{3^n}+1\vdots 3^n \ \forall n\in \mathbb{N}\ (*)$

+) Với $n=0$ thì $(*)$ đúng
+) Giả sử $(*)$ đúng đến $n=k$, tức là ta có:
$$2^{3^k}+1\vdots 3^k$$
+) Ta sẽ c/m $(*)$ đúng với $n=k+1$. Thật vậy:
$$2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k}+1)[(2^{3^k})^2-2^{3^k} +1 ]$$
Ta thấy $3^k\not\vdots 2\ \forall k\in \mathbb{N}\Rightarrow (2^{3^k})^2-2^{3^k} +1 \vdots 3$
Lại có $2^{3^k}+1\vdots 3^k$ (GTQN) $\Rightarrow 2^{3^{k+1}}+1\vdots 3^{k+1}$

Vậy $(*)$ đúng với $n=k+1$. Theo nguyên lí quy nạp thì $(*)$ đúng với $\forall n\in \mathbb{N}$.

Vì có vô số số có dạng $3^k$ nên cũng sẽ có vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^n+1\vdots n$ (chọn $n=3^k$) $\square$

P/s: Đoạn latex kia sao lỗi nhỉ >"<

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-10-2012 - 20:22

[Dramons Celliet]

Bài toán: Chứng minh rằng rồi tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^n+1\vdots n$.

Lời giải:
Cách 1:
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $k$ dãy $\left ( x_k,k\geq 0 \right )$ xác định bởi $x_0=1$, $x_{k+1}=2^{x_{k}}+1$ với mọi $k\geq 0$ thỏa mãn $2^{x_{k}}\vdots x_k$ với mọi số tự nhiên $k$.
Với $k=0$ thì hiển nhiên khẳng định đúng. Giả sử khẳng định đúng đến $k$, tức là ta có $2^{x_{k}}\vdots x_k$. Do $2^{x_{k}}$ và $x_k$ là hai số nguyên lẻ nên $\dfrac{2^{x_{k}}}{x_k}$ là một số lẻ.
Do đó: $2^{x_{k+1}}+1=2^{2^x_{k+1}}+1=\left ( 2^{x_{k}} \right )^{\frac{2^{x_{k}+1}}{x_k}}+1\vdots 2^{x_{k}}+1$, tức là $2^{x_{k}}+1\vdots x_k$ hay khẳng định đúng đến $k+1$. Theo nguyên lí quy nạp, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên $k$.
Mặt khác, $x_0=1<x_1<x_2<...$ nên dãy $\left ( x_k,k\geq 0 \right )$ gồm các số phân biệt. Từ đó suy ra tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn đề bài. $\blacksquare$

Cách 2:
Dễ thấy $n=3$ thỏa mãn. Ta chứng minh rằng nếu $2^n+1\vdots n$ và $n\vdots 3$ thì $2^{3n}+1\vdots 3n$.
Giả sử $2^n=kn-1$. Khi đó: $2^{3n}+1=\left ( kn-1 \right )^3+1=\left ( kn \right )^3-3\left ( kn \right )^2+3kn$.
Vì $n\vdots 3$ nên $\left ( kn \right )^3\vdots 3n\Rightarrow 2^{3n}+1\vdots 3$.
Từ đó suy ra mọi $n=3^k$ thỏa mãn điều kiện đề bài, do đó có vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn đề bài. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dramons Celliet: 14-10-2012 - 17:53

[nguyenta98]

Lời giải:
Cách 1:
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo $k$ dãy $\left ( x_k,k\geq 0 \right )$ xác định bởi $x_0=1$, $x_{k+1}=2^{x_{k}}+1$ với mọi $k\geq 0$ thỏa mãn $2^{x_{k}}\vdots x_k$ với mọi số tự nhiên $k$.
Với $k=0$ thì hiển nhiên khẳng định đúng. Giả sử khẳng định đúng đến $k$, tức là ta có $2^{x_{k}}\vdots x_k$. Do $2^{x_{k}}$ và $x_k$ là hai số nguyên lẻ nên $\dfrac{2^{x_{k}}}{x_k}$ là một số lẻ.
Do đó: $2^{x_{k+1}}+1=2^{2^x_{k+1}}+1=\left ( 2^{x_{k}} \right )^{\frac{2^{x_{k}+1}}{x_k}}+1\vdots 2^{x_{k}}+1$, tức là $2^{x_{k}}+1\vdots x_k$ hay khẳng định đúng đến $k+1$. Theo nguyên lí quy nạp, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên $k$.
Mặt khác, $x_0=1<x_1<x_2<...$ nên dãy $\left ( x_k,k\geq 0 \right )$ gồm các số phân biệt. Từ đó suy ra tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn đề bài. $\blacksquare$

Cách 2:
Dễ thấy $n=3$ thỏa mãn. Ta chứng minh rằng nếu $2^n+1\vdots n$ và $n\vdots 3$ thì $2^{3n}+1\vdots 3n$.
Giả sử $2^n=kn-1$. Khi đó: $2^{3n}+1=\left ( kn-1 \right )^3+1=\left ( kn \right )^3-3\left ( kn \right )^2+3kn$.
Vì $n\vdots 3$ nên $\left ( kn \right )^3\vdots 3n\Rightarrow 2^{3n}+1\vdots 3$.
Từ đó suy ra mọi $n=3^k$ thỏa mãn điều kiện đề bài, do đó có vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn đề bài. $\blacksquare$

Mình không thể hiểu nổi, trước khi post bạn không đọc à, bài của bạn có phải diễn dịch hai bài của mình và minhtuyb không?

[Dramons Celliet]

Mình không thể hiểu nổi, trước khi post bạn không đọc à, bài của bạn có phải diễn dịch hai bài của mình và minhtuyb không?

Không phải là không đọc nhưng mà đây là hai cách mình tự tìm ra và muốn post để tham khảo thôi và nó có đụng chạm gì đến bạn đâu? Đâu phải lời giải có rồi là mình không được post, ở đâu ra cái luật đó vậy?

[Dat lon don]

Bài toán: Chứng minh rằng rồi tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^n+1\vdots n$.

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dat lon don: 12-08-2023 - 21:07