Chủ đề này có 2 trả lời

[thedragonknight]

Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=1$.Tìm min của $x^2+my^2+nz^2$

P/s: Bài này mình giải hoài ko đc .Lâu rồi ko onl VMF. Khởi động lại cái đã

[kobietlamtoan]

Ta có: $xy+yz+zx=1\Rightarrow x+y+z\geq 1$
với các số a,b,c>0 ta có:
$x^2+a\geq 2x\sqrt{a}$
$my^2+b\geq 2y\sqrt{mb}$
$nz^2+c\geq 2z\sqrt{nc}$
Ta sẽ tìm các số a,b,c sao cho: $\sqrt{a}=\sqrt{mb}=\sqrt{nc}$ (1)
và $\sqrt{\frac{ab}{m}}+\sqrt{\frac{ac}{n}} + \sqrt{\frac{bc}{mn}}=1$ (2)
Từ (1) và (2) ta tìm được
$\frac{a}{m}+\frac{a}{n}+\frac{a}{mn}=1$ $\Rightarrow a = \frac{mn}{m+n+1}$

từ đó ta tìm được $b = \frac{mn}{m(m+n+1)}$ ; $c = \frac{mn}{n(m+n+1)}$

bạn thay vào sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của $x^{2}+my^{2}+nz^{2}$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $x,y,z>0$ và $xy+yz+xz=1$.Tìm min của $P=x^2+ay^2+bz^2$

P/s: Bài này mình giải hoài ko đc .Lâu rồi ko onl VMF. Khởi động lại cái đã

Điều kiện của $a,b$ là phải dương thì phải. Bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, mình tìm được $P_{\min}=2t,$ với $t$ là nghiệm dương của phương trình $$f(x)=2x^3+(1+a+b)x^2-ab=0.$$ Thật vậy, giả sử rằng $P$ đạt giá trị nhỏ nhất là $2t >0,$ khi đó, ta được $$x^2+ay^2+bz^2 \ge 2t.$$ Tương đương với $$(t+1)x^2+(t+a)y^2+(t+b)z^2 \ge t(a+b+c)^2.$$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$(t+1)x^2+(t+a)y^2+(t+b)z^2\ge \frac{(x+y+z)^2}{\dfrac{1}{t+1}+\dfrac{1}{t+a}+\dfrac{1}{t+b}}.$$ Như vậy, ta cần chọn $t$ sao cho $$\dfrac{1}{t+1}+\dfrac{1}{t+a}+\dfrac{1}{t+b}=\frac{1}{t}. \quad (1)$$ Bằng cách quy đồng và thu gọn, ta thấy $(1)$ tương đương với $$2t^3+(1+a+b)t^2-ab=0.$$

Nhận Xét. Với $a=\frac{2}{5},\;b=\frac{1}{5}$ ta được một kết quả rất đẹp sau đây $$5a^2+2b^2+c^2\ge 2(ab+bc+ca).$$ Với đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)$ tỉ lệ với $(1,2,3).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 11-10-2012 - 10:35