KỲ THI KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI
NĂM HỌC: 2012 - 2013
Bài 1. Cho $x, y$ là hai số thực dương thỏa mãn $x^3+y^3=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{x^2+y^2}{(1-x)(1-y)}$$
Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=-1; u_2=-2 \\ nu_{n+2}-(3n+1)u_{n+1}+2(n+1)u_n=3, \forall n \ge 1\end{cases}$.
Đặt $S=\sum_{n=1}^{2012} u_n -2(2^{2012}-1)$. Chứng minh rằng S chia hết cho 2013.
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa: $f(x)+f(x^4)=2012, \forall x \in \mathbb{R}$.
Bài 4. Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $AM$ nhưng luôn cắt cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $B', D'$. Gọi $V=V_{S.ABCD}$ và $V_1=V_{S.AB'MD'}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\dfrac{V_1}{V}$.
Bài 5. Giải phương trình trên tập số thực: $$(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12\sqrt{(5x-1)(5-2x)}=18x+32$$
Bài 6. Cho tập $S=\{1,2,...,999\}$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho mọi tập con $A$ của $S$ gồm $n$ phần tử luôn tồn tại 4 phần tử $a, b, c, d$ thuộc $A$ sao cho: $a+2b+3c=d$.
(Trích Toán tuổi già )
Edited by minhdat881439, 25-09-2012 - 20:02.
