Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$
Tìm min của P:
$P=\frac{a^2}{c(a^2+c^2)}+\frac{b^2}{a(b^2+a^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+b^2)}$
Tìm min của P: $P=\frac{a^2}{c(a^2+c^2)}+\frac{b^2}{a(b^2+a^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+b^2)}$
Bắt đầu bởi minhson95, 25-09-2012 - 21:12
#1
Đã gửi 25-09-2012 - 21:12
- WhjteShadow yêu thích
#2
Đã gửi 25-09-2012 - 21:44
Đặt tương ứng $$(a;b;c)=(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})$$Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$
Tìm min của P:
$P=\frac{a^2}{c(a^2+c^2)}+\frac{b^2}{a(b^2+a^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+b^2)}$
Suy ra giả thiết: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{3}{xyz}\Leftrightarrow x+y+z=3$
$$P=\sum \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{z}.\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2} \right )}=\sum \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2+z^2}{x^2z^3}}=\sum \frac{z^3}{x^2+z^2}=\sum \left ( z-\frac{x^2z}{x^2+z^2} \right )$$
$$\geq \sum \left ( z-\frac{x^2z}{2xz} \right )=\sum \left ( z-\frac{x}{2} \right )=\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 25-09-2012 - 21:45
- WhjteShadow và danganhaaaa thích
#3
Đã gửi 25-09-2012 - 21:49
Đề bài chắc phải là $a,b,c$ dương chứ ạ anhCho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$
Tìm min của P:
$P=\frac{a^2}{c(a^2+c^2)}+\frac{b^2}{a(b^2+a^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+b^2)}$
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ ta có $x,y,z>0,x+y+z=3$ và cần chứng minh:
$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\geq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow x-\frac{x^3}{x^2+y^2}+y-\frac{y^3}{y^2+z^2}+z-\frac{z^3}{z^2+x^2}\leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{xy^2}{x^2+y^2}+\frac{yz^2}{y^2+z^2}+\frac{zx^2}{z^2+x^2}\leq \frac{3}{2}$$
Nhưng the0 $AM-GM$ ta có: $x^2+y^2\geq 2xy$ nên $\frac{xy^2}{x^2+y^2}\leq \frac{y}{2}$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự và cộng lại,để ý $x+y+z=3$ ta có điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$ $\blacksquare$
- danganhaaaa yêu thích
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh