Chủ đề này có 2 trả lời

[minhson95]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$

Tìm min của P:

$P=\frac{a^2}{c(a^2+c^2)}+\frac{b^2}{a(b^2+a^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+b^2)}$

[le_hoang1995]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$

Tìm min của P:

$P=\frac{a^2}{c(a^2+c^2)}+\frac{b^2}{a(b^2+a^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+b^2)}$

Đặt tương ứng $$(a;b;c)=(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})$$
Suy ra giả thiết: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{3}{xyz}\Leftrightarrow x+y+z=3$
$$P=\sum \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{z}.\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2} \right )}=\sum \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2+z^2}{x^2z^3}}=\sum \frac{z^3}{x^2+z^2}=\sum \left ( z-\frac{x^2z}{x^2+z^2} \right )$$
$$\geq \sum \left ( z-\frac{x^2z}{2xz} \right )=\sum \left ( z-\frac{x}{2} \right )=\frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 25-09-2012 - 21:45

[WhjteShadow]

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $ab+bc+ca=3abc$

Tìm min của P:

$P=\frac{a^2}{c(a^2+c^2)}+\frac{b^2}{a(b^2+a^2)}+\frac{c^2}{b(c^2+b^2)}$

Đề bài chắc phải là $a,b,c$ dương chứ ạ anh
Đặt $\frac{1}{a}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{1}{c}=z$ ta có $x,y,z>0,x+y+z=3$ và cần chứng minh:
$$\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\geq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow x-\frac{x^3}{x^2+y^2}+y-\frac{y^3}{y^2+z^2}+z-\frac{z^3}{z^2+x^2}\leq \frac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{xy^2}{x^2+y^2}+\frac{yz^2}{y^2+z^2}+\frac{zx^2}{z^2+x^2}\leq \frac{3}{2}$$
Nhưng the0 $AM-GM$ ta có: $x^2+y^2\geq 2xy$ nên $\frac{xy^2}{x^2+y^2}\leq \frac{y}{2}$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự và cộng lại,để ý $x+y+z=3$ ta có điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$ hay $a=b=c=1$ $\blacksquare$