Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^3+b^2+c}+\frac{1}{b^3+c^2+a}+\frac{1}{c^3+a^2+b}\leq 1$$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$ và $ab+bc+ca>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$$

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán 2.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$ và $ab+bc+ca>0$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^4}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}$$

T.A có : $a^3+b^3+c^3=3abc+(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$\rightarrow \frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}= \frac{3abc}{a+b+c}-(ab-a^2)-(bc-b^2)-(ca-c^2)$
Và như thế bất đẳng thức trở thành :
$(\frac{a^4}{a^2+ab+b^2}+ab-a^2)+(\frac{b^4}{b^2+bc+c^2}+bc-b^2)+(\frac{c^4}{c^2+ca+a^2}+ca-c^2)$
$\geq \frac{3abc}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{ab^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{bc^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{ca^3}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{3abc}{a+b+c}$
Bây giờ thì sử dụng $Cauchy-Schwarz$ ta có
$VT.[c(a^2+ab+b^2)]+a(b^2+bc+c^2)+b(c^2+ca+a^2)]\geq (\sqrt{ab^3c}+\sqrt{bc^3a}+\sqrt{ca^3b})^{2}$
$\Leftrightarrow VT(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq abc(a+b+c)^2$
$\rightarrow VT\geq \frac{abc(a+b+c)}{ab+bc+ca}= \frac{abc(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)(a+b+c)}\geq \frac{abc.3(ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca)(a+b+c)}= \frac{3abc}{a+b+c}$

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^3+b^2+c}+\frac{1}{b^3+c^2+a}+\frac{1}{c^3+a^2+b}\leq 1$$

Theo Cauchy-Schwarz ta có
$$\sum \frac{1}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a+b^{2}+c^{3}}{(a^{3}+b^{2}+c)(a+b^{2}+c^{3})}\leq \sum \frac{a+b^{2}+c^{3}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$$
Như vậy ta cần chứng minh $$a+b+c+a^{2}+b^{2}+c^{2}+a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$$
$$\Leftrightarrow 3+9-2(ab+bc+ca)+27-9(ab+bc+ca)+3abc\leq [9-2(ab+bc+ca)]^{2}$$
$$\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca)^{2}-25(ab+bc+ca)+42-3abc\geq 0$$
Vì $$a+b+c=3 \Rightarrow ab+bc+ca\geq 3abc$$
$$\Rightarrow 4(ab+bc+ca)^{2}-25(ab+bc+ca)+42-3abc\geq4(ab+bc+ca)^{2}-26(ab+bc+ca)+42=2(2ab+2bc+2ca-7)(ab+bc+ca-3)\geq 0 $$
Bất đẳng thức trên đúng do $$ab+bc+ca\leq 3$$
Ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 26-09-2012 - 21:50