Chủ đề này có 2 trả lời

[supermember]

Tồn tại chăng số nguyên dương $n$ lẻ ; $ n \ge 5 $ sao cho :


$ \frac{4^n+1}{5}$ là số nguyên tố.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 27-09-2012 - 15:51

[thanhluong]

Tồn tại chăng số nguyên dương $n$ lẻ ; $ n \ge 3 $ sao cho :


$ \frac{4^n+1}{5}$ là số nguyên tố.

$n=3 \Rightarrow \frac{4^n+1}{5}=13$ thoả mãn kìa anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhluong: 27-09-2012 - 13:58

[nguyenta98]

Tồn tại chăng số nguyên dương $n$ lẻ ; $ n \ge 5 $ sao cho :
$ \frac{4^n+1}{5}$ là số nguyên tố.

Giải như sau:
TH1: $n$ là hợp số suy ra $n=pq$ với $p,q$ lẻ và $p,q>1$
Khi ấy dễ thấy $\dfrac{4^{pq}+1}{5}=\dfrac{4^p+1}{5}.((4^p)^{q-1}-(4^p)^{q-2}+...+(4^p)^2-(4^p)+1)$ là hợp số
TH2: $n$ nguyên tố suy ra $n=p$ với $p$ lẻ suy ra $p-1=2k$
Do đó $\dfrac{4^n+1}{5}=\dfrac{4.4^{p-1}+1}{5}=\dfrac{4.4^{2k}+1}{5}=\dfrac{4.(2^k)^4+1}{5}=\dfrac{(2.(2^k)^2-2(2^k)+1)(2.(2^k)^2+2(2^k)+1)}{5}$ mà chỉ một trong hai số chia hết cho $5$ và dễ dàng cm hai số lớn hơn $1$ nên là hợp số
Vậy bài toán có câu trả lời $\dfrac{4^n+1}{5}$ là hợp số với mọi $n\geq 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-09-2012 - 21:39