Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$
Bài toán 2.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực không âm và $a^2+b^2+c^2>0$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{(a+b)^2}{a^2+2b^2+3c^2}+\frac{(b+c)^2}{b^2+2c^2+3a^2}+\frac{(c+a)^2}{c^2+2a^2+3b^2}\geq \frac{3}{2}$$

[sieutoan99]

Bài toán 1.
Ch0 $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$$

Bài 1
BDT tương đương vs:
$(\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c})+(\frac{b}{c}-\frac{b}{b+c})+(\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{b}{a+b}+1$
Hay
$\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$
AD cauchy schwarz:
$\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(b+c)}=\frac{a}{c(b+c)}(\frac{c^2}{b}+\frac{b^2}{a})\geq \frac{a}{c(b+c)}\frac{(c+b)^2}{b+a}=\frac{a(b+c)}{c(a+b)}$
Cần cm:
$\frac{a(b+c)}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+2b\Leftrightarrow \frac{b(c-a)^2}{ca}\geq 0$ (đúng)
Dấu = khi a=b=c
----------------------------------------------
Bạn nên gìn giữ sự tr0ng sáng của tiếng Việt khi tham gia thảo luận trên diễn đàn! Thân

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 28-09-2012 - 21:20