4 replies to this topic

[Katyusha]

Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ lẻ: $2^{n!}-1 \vdots n$

[nguyenta98]

Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ lẻ: $2^{n!}-1 \vdots n$

Giải như sau:
Ta đặt $n=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$
Khi ấy theo Fermat nhỏ $2^{p_1-1}-1 \vdots p_1$
Giả sử $2^{(p_1-1).p_1^k}-1 \vdots p_1^{k+1}$
Ta sẽ cm $2^{(p_1-1).p_1^{k+1}}-1 \vdots p_1^{k+2}$
Thật vậy $2^{(p_1-1).p_1^{k+1}}-1=(2^{(p_1-1).p_1^k}-1)((2^{(p_1-1).p_1^k})^{p_1-1}+...+(2^{(p_1-1).p_1^k})+1)$
Thấy $2^{(p_1-1).p_1^k}-1 \vdots p_1^{k+1}$ (GTQN) suy ra $2^{(p_1-1).p_1^k} \equiv 1 \pmod{p}$
Suy ra $((2^{(p_1-1).p_1^k})^{p_1-1}+...+(2^{(p_1-1).p_1^k})+1) \vdots p$
Từ ấy $2^{(p_1-1).p_1^{k+1}}-1 \vdots p_1^{k+2}$ đpcm
Khi đó theo quy nạp ở trên ta được $2^{(p_1-1).p_1^{a_1-1}}-1 \vdots p_1^{a_1}$
Tương tự hoàn toàn với các ước số nguyên tố khác suy ra $2^{(p_1-1)p_1^{a_1-1}.(p_2-1)p_2^{a_2-1}...(p_k-1)p_k^{a_k-1}}-1 \vdots n$ mà $(p_1-1)p_1^{a_1-1}.(p_2-1)p_2^{a_2-1}...(p_k-1)p_k^{a_k-1}<n$ do đó $n! \vdots (p_1-1)p_1^{a_1-1}.(p_2-1)p_2^{a_2-1}...(p_k-1)p_k^{a_k-1}$ suy ra $2^{n!}-1 \vdots n$ nên đó là đpcm

Edited by nguyenta98, 01-10-2012 - 20:16.

[minhtuyb]

Thử mở rộng bài toán với:

"Tìm mọi số tự nhiên $n$ sao cho:
$$2^n-1\vdots n$$"

Edited by minhtuyb, 02-10-2012 - 23:09.

[nguyenta98]

Thử mở rộng bài toán với:

"Tìm mọi số tự nhiên $n$ sao cho:
$$2^n-1\vdots n$$"

Giải như sau:
Bổ đề quen thuộc: $a^x-1,a^y-1 \vdots p$ với $x$ min thì $x|y$
Gọi $p$ là ước nguyên tố của $n$, dễ cm $n$ lẻ suy ra $p$ lẻ và $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$
Khi đó gọi $k$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $2^k-1 \vdots p$ theo Fermat nhỏ $2^{p-1}-1 \vdots p$
Nên theo bổ đề quen thuộc có $p-1 \vdots k \Rightarrow p-1\geq k \Rightarrow p>k$
Mặt khác cũng theo bổ đề đó có $n \vdots k$
Suy ra $k=1$ vì nếu $k>1$ thì $k \vdots r$ nguyên tố lẻ mà $p>k\geq r \Rightarrow p>r$ mà $r|n$ vô lí vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$
Suy ra $2^k-1=2-1=1 \vdots p$ vô lí
Vậy vô nghiệm

[minhtuyb]

Giải như sau:
Bổ đề quen thuộc: $a^x-1,a^y-1 \vdots p$ với $x$ min thì $x|y$
Gọi $p$ là ước nguyên tố của $n$, dễ cm $n$ lẻ suy ra $p$ lẻ và $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$
Khi đó gọi $k$ là số nhỏ nhất thỏa mãn $2^k-1 \vdots p$ theo Fermat nhỏ $2^{p-1}-1 \vdots p$
Nên theo bổ đề quen thuộc có $p-1 \vdots k \Rightarrow p-1\geq k \Rightarrow p>k$
Mặt khác cũng theo bổ đề đó có $n \vdots k$
Suy ra $k=1$ vì nếu $k>1$ thì $k \vdots r$ nguyên tố lẻ mà $p>k\geq r \Rightarrow p>r$ mà $r|n$ vô lí vì $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$
Suy ra $2^k-1=2-1=1 \vdots p$ vô lí
Vậy vô nghiệm

Thanks em . Nhưng em xét thiếu trường hợp $n$ không có ước nguyên tố. Tức là $n=1$