Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+4\geq 0$
Bắt đầu bởi yellow, 02-10-2012 - 21:26
#1
Đã gửi 02-10-2012 - 21:26
Cho $a,b\neq 0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+4\geq 0$
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#3
Đã gửi 02-10-2012 - 21:41
Cách giải khác:Cho $a,b\neq 0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+4\geq 0$
$$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+4\geq 0\Leftrightarrow (\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4-4.\frac{a}{b}-4.\frac{b}{a}+2)+(\frac{a^2}{b^2}-2.\frac{a}{b}+1)+(\frac{b^2}{a^2}-2.\frac{b}{a}+1)\geq 0\Leftrightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2)^2+(\frac{a}{b}-1)^2+(\frac{b}{a}-1)^2\geq 0$$
(Hiển nhiên đúng)
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 02-10-2012 - 21:41
- yellow và Mai Xuan Son thích
#4
Đã gửi 02-10-2012 - 21:43
Đang $x$ sao lại là $a$ thế em.Chém nhanh bài này :
Đặt:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
Giờ chỉ việc quy đồng lên là ra thôi!!@
----------------------------------Vũ Minh Tân-------------------------------
Đặt : $t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \Rightarrow \left| t \right| \ge 2$.Cho $a,b\neq 0$. Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+4\geq 0$
BĐT tương đương: \[
t^2 - 3t + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \ge 0
\]
Cái này đúng $\forall \left| t \right| \ge 2$
- Mai Duc Khai và Mai Xuan Son thích
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh