Thời gian làm bài: 180 phút.
$\boxed{\text{Bài 1: (4đ)}}$
Cho $n$ số thực $x_1,x_2,...,x_n$. CMR:
$$\frac{{x_1 }}{{1 + x_1 ^2 }} + \frac{{x_2 }}{{1 + x_1 ^2 + x_2 ^2 }} + ... + + \frac{{x_n }}{{1 + x_1 ^2 + x_2 ^2 + ... + x_n ^2 }} < \sqrt n $$
$\boxed{\text{Bài 2: (6đ)}}$
1. CMR với mỗi số nguyên dương $n$ thì $\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} > \ln n$.
2. Cho phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x - 2}} + ... + \frac{1}{{x - n}} = 0$
a. CMR với mỗi $n$ nguyên dương thì phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất trên $(0;1)$ ; ký hiệu nghiệm đó là $x_n$.
b. CMR dãy $(x_n)$ có giới hạn, tìm giới hạn đó.
$\boxed{\text{Bài 3: (5đ)}}$
1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^2+14xy+y^2=x^2y^2$.
2. Tìm các giá trị nguyên của a để phương trình $\frac{1}{{x^2 }} + \frac{a}{{xy}} + \frac{1}{{y^2 }} = 1$ có nghiệm nguyên dương.
$\boxed{\text{Bài 4: (5đ)}}$
Cho $\Delta ABC$ nhọn có trực tâm $H$, nội tiếp $(O)$. $AH,BH,CH$ cắt $(O)$ lần lượt tại $L,M,N$. Đường thẳng $OL$ cắt $BC$ tại $D$, $OM$ cắt $AC$ tại $E$, $ON$ cắt $AB$ tại $F$. CMR: $AD,BE,CF$ đồng quy.
___
NLT
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 03-10-2012 - 17:28
