Chủ đề này có 3 trả lời

[Alexman113]

Cho $9$ đường thẳng cùng có tính chất mỗi đường thẳng chia hình vuông thành $2$ tứ giác có tỉ số diện tích $S=\dfrac{2}{3}$. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ đường trong số đó đồng quy.

[Forever2012]

Trên 2 đg TB của hình vuông sẽ có 4 điểm mà 9 đg thẳng phải đi qua để t/m đầu bài. Từ đó theo nguyên lý Đi-rích-lê BT đc giải hoàn toàn.

[Alexman113]

Trên 2 đg TB của hình vuông sẽ có 4 điểm mà 9 đg thẳng phải đi qua để t/m đầu bài. Từ đó theo nguyên lý Đi-rích-lê BT đc giải hoàn toàn.

Bạn có thể trình bày cụ thể rõ ra được không?

[nguyenta98]

Cho $9$ đường thẳng cùng có tính chất mỗi đường thẳng chia hình vuông thành $2$ tứ giác có tỉ số diện tích $S=\dfrac{2}{3}$. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ đường trong số đó đồng quy.

Bài này hình học là chủ yếu
Giải như sau:
Gọi hình vuông đó là $ABCD$ và do tính đồng dạng nên có thể giả sử cạnh của hv là $1$
Ta có, giả sử đường thẳng đó cắt $AB$ tại $M$ và $CD$ tại $N$ gọi $AM=a,DN=b$ suy ra $MB=1-a,NC=1-b$
Do đó không mất tổng quát giả sử $dt(AMND)>dt(BCNM)$ suy ra $dt(AMND)=\dfrac{3}{2}.dt(BCNM)$
Suy ra $a+b=\dfrac{3}{2}(2-a-b) \Rightarrow 5(a+b)=6 \Rightarrow a+b=\dfrac{6}{5}$
Gọi $H,K$ nằm trên $AB,DC$ sao cho $3AH=2HB$ và $3DK=2KC$ khi ấy $dt(AMND)=dt(AHKD)$ suy ra $I$ là giao $HK,MN$ thì $dt(MHI)=dt(NIK)$ mà hai tam giác này vuông, góc đối đỉnh suy ra đồng dạng mà $S$ bằng nhau nên hai tam giác bằng nhau do đó $I$ là tđ $HK$, do đó $MN$ đi qua $I$ cố định, lại thấy hv $ABCD$ có $3$ đường tương tự $HK$ nên $MN$ đi qua tđ $3$ đường đó, cộng với $I$ là đi qua $4$ điểm, có $9$ đường, theo nguyên lý dirichlet tồn tại $3$ đường đồng quy