Chủ đề này có 10 trả lời

[mrduc14198]

Câu 1 .
Cho x,y,z$\geq$ 0 và x+y+z=1.CMR
$\frac{3}{xy+yz+zx}$ + $\frac{3}{x^2+y^2+z^2}$ > 14
( Bài này em đã cm được >= 14 . Nhưng đang ko cm được dấu = ko xảy ra . Chỉ cần cm được $x^2+y^2+z^2\neq 2xy+2yz+2zx$ với điều kiên trên nữa là xong )

Câu 2 .
Cho a,b,c>0 . CMR :

$\frac{ab}{a+3b+2c}$ + $\frac{bc}{b+3c+2a}$ + $\frac{ca}{c+3a+2b}$ $\geqslant$ $\frac{a+b+c}{6}$

Câu 3.

Cho a$\geqslant$2 . CMR . a+$\frac{1}{a^2}$$\geqslant$$\frac{9}{4}$

Câu 4 .

Cho a+b+c = 1 và a,b,c >0 .CMR:
$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$+$\frac{1}{c^2}$+$\frac{2}{ab}$+$\frac{2}{bc}$+$\frac{2}{ca}$$\geqslant$81

Câu 5 .
Cho x,y>0 thỏa mãn x+y=1. Tìm Min P=$\frac{2}{x}$+$\frac{3}{y}$

Câu 6 .
cho a,b,c,d>0. CMR : $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{4}{c}$+$\frac{16}{d}$$\geqslant$$\frac{64}{a+b+c+d}$

Câu 7 .
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm Min :

P=$\sqrt{(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)}$+$\sqrt{(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)}$+$\sqrt{(\frac{1}{c}-1)(\frac{1}{a}-1)}$

Em đang cần gấp anh chị ạ
Ai giải giùm em với , em cảm ơn nhiều ạ .
---------------------
Chú ý tiêu đề phải được gõ rõ ràng bằng $\LaTeX$ em nhé....
Nếu có gì em hãy thảo luận cùng mọi người. Không nói "cần gấp,giải giùm.." nó mất cảm tình lắm em à

==> Vâng , em sẽ rút kinh nghiệm ngay ạ , tại em cũng chỉ mới tham gia diễn đàn từ tối hôm qua thui ạ .!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrduc14198: 05-10-2012 - 22:53

[Katyusha]

Câu 1:
Thì không tìm được dấu "=" nên BĐT trở thành nghiêm ngặt chứ sao

Câu 3:
Nhận xét đẳng thức xảy ra khi $a=2$. Sử dụng AM-GM:
$a+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{a}{8}+\dfrac{a}{8} +\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{3a}{4} \ge 3.\dfrac{1}{4}+\dfrac{6}{4}=\dfrac{9}{4}$

Câu 4:
Sử dụng BĐT quen thuộc: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge \dfrac{9}{x+y+z}$ với mọi $x,y,z>0$.
Ta có: $$VT \ge \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{18}{ab+bc+ca}= \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{9}{(ab+bc+ca)}+\dfrac{9}{(ab+bc+ca)} \ge 9\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\dfrac{81}{(a+b+c)^2}=81$$

Câu 5:
Sử dụng đánh giá $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y}$ với mọi $x,y>0$
$P \ge \dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{x+y}=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Câu 7:
Viết lại biểu thức:
$$P=\sqrt{\dfrac{(b+c)(c+a)}{ab}}+\sqrt{\dfrac{(c+a)(a+b)}{bc}}+\sqrt{\dfrac{(a+b)(b+c)}{ca}} \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$$
Mà $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$ nên $P \ge 6$

[Math Is Love]

Câu 6 .
cho a,b,c,d>0. CMR : $\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{4}{c}$+$\frac{16}{d}$$\geqslant$$\frac{64}{a+b+c+d}$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$,ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geqslant\frac{(1+1+2+4)^{2}}{a+b+c+d}=\frac{64}{a+b+c+d}$

[mrduc14198]

Em cảm ơn các anh nhiều ạ !
Nhưng ở câu 3 ý , bọn em chưa được học Am-GM , anh có cách nào # ko ạ ?
Còn bài 6 thì Cauchy dạng đó bọn em chưa biết , anh có thể cm cách khác được ko ạ ? Mà dạng đó là dạng nào của Cauchy ý nhj?

[Katyusha]

AM-GM là tên gọi quốc tế của BĐT quen thuộc mà nước mình hay gọi là BĐT Cauchy đó bạn

[mrduc14198]

Anh ơi cho em hỏi câu số 5 kia anh tách thế nào mà ra được như vậy đó ạ ?

[duongchelsea]

Nhiều bài ở đây có sử dụng bất đẳng thức
$$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$$
Đây là bất đẳng thức không được học trong chương trình, nên khi đi thi nếu muốn sử dụng thì sẽ phải chứng minh.
Chứng minh:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$$[(\frac{a_1}{\sqrt{b_1}})^2+(\frac{a_2}{\sqrt{b_2}})^2+...+(\frac{a_n}{\sqrt{b_n}})^2].[\sqrt{b_1})^2+(\sqrt{b_2})^2+...+(\sqrt{b_n})^2]\geq (\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}.\sqrt{b_1}+\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}.\sqrt{b_2}+..+\frac{a_1}{\sqrt{b_n}}.\sqrt{b_n})^2\Leftrightarrow (\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}).(b_1+b_2+...+b_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)^2\Leftrightarrow \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi
$$\frac{\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}}{\sqrt{b_1}}=\frac{\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}}{\sqrt{b_2}}=...=\frac{\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}}{\sqrt{b_n}}\Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 05-10-2012 - 21:22

[mrduc14198]

Nhiều bài ở đây có sử dụng bất đẳng thức
$$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$$
Đây là bất đẳng thức không được học trong chương trình, nên khi đi thi nếu muốn sử dụng thì sẽ phải chứng minh.
Chứng minh:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
$$[(\frac{a_1}{\sqrt{b_1}})^2+(\frac{a_2}{\sqrt{b_2}})^2+...+(\frac{a_n}{\sqrt{b_n}})^2].[\sqrt{b_1})^2+(\sqrt{b_2})^2+...+(\sqrt{b_n})^2]\geq (\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}.\sqrt{b_1}+\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}.\sqrt{b_2}+..+\frac{a_1}{\sqrt{b_n}}.\sqrt{b_n})^2\Leftrightarrow (\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}).(b_1+b_2+...+b_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)^2\Leftrightarrow \frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$$
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi
$$\frac{\frac{a_1}{\sqrt{b_1}}}{\sqrt{b_1}}=\frac{\frac{a_2}{\sqrt{b_2}}}{\sqrt{b_2}}=...=\frac{\frac{a_n}{\sqrt{b_n}}}{\sqrt{b_n}}\Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$$

Em cảm ơn anh .
Em biến đổi sang tương đương về dạng Bunhiacopxki rồi ra đpcm anh ạ

[vanthanh0601]

Bạn xem lại đề bài 2 đi hình như ngược dấu rồi

[mrduc14198]

Bạn xem lại đề bài 2 đi hình như ngược dấu rồi

KHông ngược bạn ạ , mà ý bạn là bái số 2 hả , bài đó đúng rồi đó ạ

[minhhieukaka]

Bài 2 ngược dấu thật bạn ạ. bạn xem lại đề nhé vì lời giải đã có ở đây
http://diendantoanho...ng-thức-thcs-2/