Chủ đề này có 1 trả lời

[anhxuanfarastar]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho \frac{2^{p-1}-1}{p} là số chính phương.

[nguyenta98]

Giải như sau:
Đặt $\dfrac{2^{p-1}-1}{p}=t^2$
Suy ra $2^{p-1}-1=p.t^2$
Nhận thấy $p=2$ thì loại, do đó $p>2$ nên $p$ là số lẻ
Suy ra $(2^{\frac{p-1}{2}}-1)(2^{\frac{p-1}{2}}+1)=pt^2$
Ta thấy $gcd(2^{\frac{p-1}{2}}-1,2^{\frac{p-1}{2}}+1)=1$
Nên trong hai số đó có một và chỉ một số chia hết cho $p$
TH1: $2^{\frac{p-1}{2}}-1 \vdots p$
Khi ấy có $2^{\frac{p-1}{2}}-1=pm^2,2^{\frac{p-1}{2}}+1=n^2$ và $t=mn$
Ta có $2^{\frac{p-1}{2}}=(n-1)(n+1)$ nên rõ ràng $m-1=2^x,m+1=2^y$ khi ấy $2^y-2^x=2 \Rightarrow y=2,x=1$ nên $\frac{p-1}{2}=3 \Rightarrow p=7$
TH2: $2^{\frac{p-1}{2}}+1 \vdots p$
Khi ấy $2^{\frac{p-1}{2}}-1=m^2$ và $2^{\frac{p-1}{2}}+1=pn^2$ và $t=mn$
Suy ra $2^{\frac{p-1}{2}}=m^2+1$ nên $\frac{p-1}{2}=1$ vì nếu không thì $VT \vdots 4 \Rightarrow m^2 \equiv 3 \pmod{4}$ vô lý
Do đó $p=3$
Vậy $\boxed{p=3,7}$