Chủ đề này có 5 trả lời

[DatBKXM]

Bài 1: Cho a, b, c >0. CMR:
$\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 2\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )$
Bài 2: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
$\frac{a^{2}-bc}{3a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}-ca}{3b^{2}+c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}-ab}{3c^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq 0$
Bài 3: Cho a, b, c >0 thỏa: $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1$
CMR: a+b+c $\geq$ ab+bc+ca
Bài 4: Cho a, b, c >0 thỏa: $\frac{1}{1+2ab}+\frac{1}{1+2bc}+\frac{1}{1+2ca}\geq 1$
CMR: a+b+c$\geq$3abc
Bài 5: Cho a, b, c >0 thỏa a+b+c =3. CMR:
$\frac{ab+\frac{9}{4}}{ab+a+b}+\frac{bc+\frac{9}{4}}{bc+b+c}+\frac{ca+\frac{9}{4}}{ca+c+a}\geq \frac{13}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DatBKXM: 06-10-2012 - 19:53

[25 minutes]

Chứng minh không cần dùng Chebyshev được không bạn nhở?

[yellow]

Bài 1: Cho a, b, c >0. CMR:
$\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}+\sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 2\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )$

Sử dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$ (với $x,y>0$)
Ta có: $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2\leq 2(x+y) \Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$ (với $x,y>0$)
Với $a,b,c$ là các số dương ta có:
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}=\sqrt{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}$
$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}} \right )$
$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right )+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right )+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )$
$\geq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$\geq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2(b+c)}}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{2(a+c)}}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{2(a+b)}}$
$=2\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right ) \Rightarrow$ $đpcm$

[25 minutes]

Câu 3: Ta có 9$\leq$9VT=$\sum \frac{9}{1+2ab}= \frac{9}{1+ab+ab}\leq 1+\frac{2}{ab}$,từ đó ta có $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 3\Rightarrow a+b+c\geq 3abc$?

[yellow]

Bài 3: Cho a, b, c >0 thỏa: $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\geq 1$
CMR: a+b+c $\geq$ ab+bc+ca

Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:
$\frac{1}{a+b+1}=\frac{a+b+c^2}{(a+b+1)(a+b+c^2)}\leq \frac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}$
Tương tự ta có: $\frac{1}{b+c+1}\leq \frac{b+c+a^2}{(a+b+c)^2}$
$\frac{1}{c+a+1}\leq \frac{c+a+b^2}{(a+b+c)^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\frac{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)}{(a+b+c)^2}$
Do $1\leq \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}$ nên ta có:
$a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)\geq (a+b+c)^2\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

[yellow]

Xin lỗi bạn vì mình đã không sử dụng $Chebyshev$, nếu bạn cần cách chứng minh bằng $Chebyshev$ thì để mình xem lại đã, coi như hai bài trên là cách khác đi.