Chủ đề này có 2 trả lời

[TuluyenToan]

Tính $\sum_{n=1}^{2005}\frac{n}{n^4+n^2+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TuluyenToan: 07-10-2012 - 03:11

[dark templar]

Tính $\sum_{n=1}^{2005}\frac{n}{n^4+n^2+1}$

Với $1 \le n \le 2005$,ta xét số hạng tổng quát:
$$T_{n}=\frac{n}{n^4+n^2+1}=\frac{n}{(n^2-1)^2-n^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n^2-n+1}-\frac{1}{n^2+n+1} \right)=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{(n-1)^2+(n-1)+1}-\frac{1}{n^2+n+1} \right]$$
Suy ra:
$$\sum_{n=1}^{2005}\frac{n}{n^4+n^2+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{2005}\left[\frac{1}{(n-1)^2+(n-1)+1}-\frac{1}{n^2+n+1} \right]=\frac{1003.2007}{2006.2007+1}$$

[nthoangcute]

Tính $\sum_{n=1}^{2005}\frac{n}{n^4+n^2+1}$

Áp dụng cách tính tổng của thầy Thanh ta được:
$\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{n^4+n^2+1}=\dfrac{k(k+1)}{2 (k^2+k+1)}$
Sau đó dùng phương pháp GVTT (Giả Vờ Tán Tỉnh) là xong.
Kết quả là $\sum_{n=1}^{2005}\frac{n}{n^4+n^2+1}={\dfrac {2011015}{4022031}}$