Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}$$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\left(\frac{a+b+c}{3}+1\right)^3\geq \frac{8(a+bc)(b+ac)(c+ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 07-10-2012 - 08:34

[sieutoan99]

Bài toán 1.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$ có tổng bằng 3.Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}$$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\left(\frac{a+b+c}{3}+1\right)^3\geq \frac{8(a+bc)(b+ac)(c+ab)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Ta có: $\frac{9}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{(a+b+c)^{2}}{2a^2+(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}$ (Áp dụng cauchy schwarz)
$\Rightarrow 9\sum \frac{1}{4a^2+b^2+c^2}\leq \frac{3}{2}+\sum (\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2})=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$
Chia 2 vế cho 9 ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1