Chủ đề này có 1 trả lời

[yeutoan11]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa :
$\left\{\begin{matrix} x\ge 4\\3x+4y\ge 24 \\3x+4y+6z\ge 36 \end{matrix}\right.$

Tìm Min $S=x^{\sqrt{3}} +y^{\sqrt{3}}+z^{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 08-10-2012 - 19:11

[WhjteShadow]

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa :
$\left\{\begin{matrix} x\ge 4\\3x+4y\ge 24 \\3x+4y+6z\ge 36 \end{matrix}\right.$

Tìm Min $S=x^{\sqrt{3}} +y^{\sqrt{3}}+z^{\sqrt{3}}$

Để ch0 dấu bằng xảy ra được đẹp và thuận tiện ch0 việc đánh giá,mình sẽ đặt $\frac{x}{4}=a, \frac{y}{3}=b , \frac{z}{2}=c$
Lúc đó $\left\{\begin{matrix} a\ge 1\\a+b\ge 2 \\a+b+c\ge 3 \end{matrix}\right.$
Và ta cần tìm Min $S=(4a)^{\sqrt{3}}+(3b)^{\sqrt{3}}+(2c)^{\sqrt{3}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô văn Si ta có:
$$2.(2a)^{\sqrt{3}}+2^{\sqrt{3}}\geq 6a.2^{\sqrt[3]{\frac{1}{3}}}$$
Tương tự và cộng lại thì:
$(2a)^{\sqrt{3}}+(2b)^{\sqrt{3}}+(2c)^{\sqrt{3}}+3.2^{\sqrt{3}}\geq 6(a+b+c).2^{\sqrt[3]{\frac{1}{3}}}\geq 18.2^{\sqrt[3]{\frac{1}{3}}}$
Hay
$$(2a)^{\sqrt{3}}+(2b)^{\sqrt{3}}+(2c)^{\sqrt{3}}\geq 3.2^{\sqrt{3}}\,\,\,(1)$$
Lại the0 bất đẳng thức Cô văn Si ta có:
$$2a^{\sqrt{3}}+1+2b^{\sqrt{3}}+1\geq 3a+3b\geq 6$$
$$\Rightarrow a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{3}}\geq 2$$
$$\Rightarrow (3^{\sqrt{3}}-2^{\sqrt{3}})(a^{\sqrt{3}}+b^{\sqrt{3}})\geq 3^{\sqrt{3}}-2^{\sqrt{3}}\,\,(2)$$
Và cuối cùng the0 giả thiết ta được:
$$(4^{\sqrt{3}}-3^{\sqrt{3}})a^{\sqrt{3}}\geq 4^{\sqrt{3}}-3^{\sqrt{3}}\,\,\,(3)$$
Cộng $(1),(2),(3)$ vế the0 vế ta có:
$$S=(4a)^{\sqrt{3}}+(3b)^{\sqrt{3}}+(2c)^{\sqrt{3}}\geq 4^{\sqrt{3}}+3^{\sqrt{3}}+2^{\sqrt{3}}$$
Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=1$ hay $x=4,y=3,z=2$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 08-10-2012 - 20:12