Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangkhtn2010]

Cho $n$ là một số nguyên dương $\ge 2$. Xét bảng số $n \times n$. Trong mỗi ô vuông con của bảng ta điền các số $1$ hoặc $-1$. Ta thực hiện phép biến đổi sau: mỗi lần biến đổi ta chọn 4 số trong các hình sau (file đính kèm) và đổi dấu $4$ số trong hình đó. Hỏi sau hữu hạn lần thực hiện các phép biến đổi ta có thể đổi dấu tất cả các ô trong bảng được không?

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkhtn2010: 09-10-2012 - 19:05

[The Gunner]

Ta thấy với $n \vdots 4$ thì ta luôn có cách đổi số thỏa mãn, vì với một hình vuông $4 \times 4$ thì ta có thể tạo được từ hình chữ T
Với $n$ lẻ thì ta thấy để đổi số hết toàn bộ các số trên bảng thì tại mỗi ô phải đổi dấu đúng một số lẻ lần, tức là số hình chữ T chèn lên ô đó phải là một số lẻ lần. vì $n$ lẻ nên có một số lẻ ô, mà mỗi ô được chèn một số lẻ lần nên tổng số các ô vuông đơn vị đã chèn lên bảng là một số lẻ. mà vì mỗi hình chữ T có 4 ô nên tổng số ô vuông đơn vị mà nó đã chèn lên bảng là số chẵn, vô lí
Với $n \vdots 2$ thì ta tô như sau
1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0
với ô đánh số 1 là ô được tô. ta thấy số ô được tô là một số lẻ nên tương tự như trên ta có số ô vuông đơn vị chèn lên số ô được tô là số lẻ
mặt khác ta thấy mỗi hình chữ T sẽ chèn lên một số chẵn ô được tô nên số ô vuông đơn vị chèn lên các ô vuông đơn vị phải là số chẵn (vô lí)
vậy chỉ có $n \vdots 4$ mới thỏa mãn còn các TH còn lại đều ko đổi dấu toàn bộ bảng được