Chủ đề này có 7 trả lời

[Mai Duc Khai]

Cho hàm số $y = \frac{{2x}}{{x + 2}}$.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết rằn khoảng cách từ tâm đối xứng của $(C)$ đến tiếp tuyến là lớn nhất

[nthoangcute]

Cho hàm số $y = \frac{{2x}}{{x + 2}}$.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $( c )$ biết rằn khoảng cách từ tâm đối xứng của $©$ đến tiếp tuyến là lớn nhất

TXĐ: $D=\{x/x \neq -2\}$
Dễ thấy $f(x)=y= \frac{{2x}}{{x + 2}}$ là hàm số lẻ nên nó tồn tại tâm đối xứng $I(a,b)$.
a) Tìm tâm đối xứng:
Cách 1: Điểm $I$ phải thỏa mãn hệ thức:
$$f(a+k)+f(a-k)=2b,\forall k$$
Cho $k=1$ ta được $2\,{\frac {a+1}{a+3}}+2\,{\frac {a-1}{a+1}}=2b$
Cho $k=2$ ta được $2\,{\frac {a+2}{a+4}}+2\,{\frac {a-2}{a}}=2b$
Suy ra $2\,{\frac {a+1}{a+3}}+2\,{\frac {a-1}{a+1}}=2\,{\frac {a+2}{a+4}}+2\,{\frac {a-2}{a}}$
Hay $a=-2$
Suy ra $b=2$
Vậy tâm đối xứng là $I(-2,2)$
Cách 2: $f'(x)=\dfrac{4}{(x+2)^2}>0$ nên $f(x)$ đồng biến trên $D$ và không có cực trị.
Giới hạn: $\lim_{x\to- \infty }y=\lim_{x\to+ \infty }y=2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang.
Tương tự $x=-2$ là tiệm cận đứng.
Suy ra tâm đối xứng là $I(-2,2)$
b) Xét một điểm bất kì trên $( C )$, giả sử là $M(x_0,y_0)$
Phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại $M$ là :
$y=f'(x_0) (x-x_0)+y_0=\dfrac{4x}{(x_0+2)^2}-\dfrac{4x_0}{(x_0+2)^2}+y_0$
Vậy khoảng cách từ $I$ đến tiếp tuyến tại $M$ là:
$d(I,tt)=\dfrac{ \left| \dfrac{-8}{(x_0+2)^2}-2-\dfrac{4x_0}{(x_0+2)^2}+y_0 \right|}{\sqrt{\dfrac{16}{(x_0+2)^4}+1}} =\dfrac{ \left| \dfrac{-8}{x_0+2}\right|}{\sqrt{\dfrac{16}{(x_0+2)^4}+1}} =\dfrac{4t}{\sqrt{t^4+1}}$ với $t=\dfrac{2}{x_0+2}$
Dễ thấy $\dfrac{4t}{\sqrt{t^4+1} }\leq 2\sqrt{2}$ (khi đó $t=1$)
Suy ra $d(I,tt) _{\max}=2\sqrt{2}$
Phương trình tiếp tuyến: $y-x=0$ hoặc $y=x+8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-10-2012 - 21:21

[longqnh]

Cho hàm số $y = \frac{{2x}}{{x + 2}}$.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $©$ biết rằn khoảng cách từ tâm đối xứng của $©$ đến tiếp tuyến là lớn nhất

Gọi $M(m,\frac{2m}{m+2})$ là tọa độ tiếp điểm, ta có tiếp tuyến tại $M$:
\[\left( d \right):\frac{4}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}x - y + \frac{{2{m^2}}}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} = 0\]
Tâm đối xứng là điểm $I(-2,2)$
\[d\left[ {I,\left( d \right)} \right] = \frac{{\left| {8m - 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {m + 2} \right)}^4}} }}\]
Sử dụng BĐT Bunyakovski, ta có:
\[\begin{array}{l}
\left| {8m - 16} \right| = \left| { - 8.4 + 8\left( {m + 2} \right)} \right| \le \sqrt {128\left[ {16 + {{\left( {m + 2} \right)}^4}} \right]} \\
=> d\left[ {I,\left( d \right)} \right] \le 8\sqrt 2 \\
\end{array}\]
Đẳng thức xảy ra $<=>m=-6$
Vậy ta có $M(-6,3)$, từ đó dễ dàng viết được phương trình tiếp tuyến

[Mai Duc Khai]

b) Xét một điểm bất kì trên $( C )$, giả sử là $M(x_0,y_0)$
Phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại $M$ là :
$y=f'(x_0) (x-x_0)+y_0=\dfrac{4x}{(x_0+2)^2}-\dfrac{4x_0}{(x_0+2)^2}+y_0$
Vậy khoảng cách từ $I$ đến tiếp tuyến tại $M$ là:
$d(I,tt)=\dfrac{ \left| \dfrac{-8}{(x_0+2)^2}-2-\dfrac{4x_0}{(x_0+2)^2}+y_0 \right|}{\sqrt{\dfrac{16}{(x_0+2)^4}+1}} =\dfrac{ \left| \dfrac{-8}{x_0+2}\right|}{\sqrt{\dfrac{16}{(x_0+2)^4}+1}} =\dfrac{4t}{\sqrt{t^4+1}}$ với $t=\dfrac{2}{x_0+2}$
Dễ thấy $\frac{4t}{\sqrt{t^4+1}} \leq 2\sqrt{2}$ (khi đó $t=1$)
Suy ra $d(I,tt) _{\max}=2\sqrt{2}$
Phương trình tiếp tuyến: $y-x=0$

Ối ối! Thiếu 1 phương trình nữa Việt ơi


P/s: Mà cậu search gì mà nhanh thế !

[nthoangcute]

Gọi $M(m,\frac{2m}{m+2})$ là tọa độ tiếp điểm, ta có tiếp tuyến tại $M$:
\[\left( d \right):\frac{4}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}x - y + \frac{{2{m^2}}}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} = 0\]
Tâm đối xứng là điểm $I(-2,2)$
\[d\left[ {I,\left( d \right)} \right] = \frac{{\left| {8m - 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {m + 2} \right)}^4}} }}\]
Sử dụng BĐT Bunyakovski, ta có:
\[\begin{array}{l}
\left| {8m - 16} \right| = \left| { - 8.4 + 8\left( {m + 2} \right)} \right| \le \sqrt {128\left[ {16 + {{\left( {m + 2} \right)}^4}} \right]} \\
=> d\left[ {I,\left( d \right)} \right] \le 8\sqrt 2 \\
\end{array}\]
Đẳng thức xảy ra $<=>m=-6$
Vậy ta có $M(-6,3)$, từ đó dễ dàng viết được phương trình tiếp tuyến

Hình như cái này sai rồi hay sao ấy !!!
_____________
P/s: Lần đầu tiên làm Giải tích nên mình không chắc chắn cho lắm ...

Ối ối! Thiếu 1 phương trình nữa Việt ơi


P/s: Mà cậu search gì mà nhanh thế !

Sorry, thiếu cái phương trình $y=x+8$
P/s: Mình tự làm mà ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-10-2012 - 21:21

[longqnh]

Hình như cái này sai rồi hay sao ấy !!!

chỗ nào chú

[nthoangcute]

chỗ nào chú

Gọi $M(m,\frac{2m}{m+2})$ là tọa độ tiếp điểm, ta có tiếp tuyến tại $M$:
\[\left( d \right):\frac{4}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}x - y + \frac{{2{m^2}}}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} = 0\]
Tâm đối xứng là điểm $I(-2,2)$
\[d\left[ {I,\left( d \right)} \right] = \frac{{\left| {8m - 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {m + 2} \right)}^4}} }}\]

Đáng lẽ là phải: \[d\left[ {I,\left( d \right)} \right] = \frac{{\left| {8m + 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {m + 2} \right)}^4}} }}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 09-10-2012 - 21:26

[Mai Duc Khai]

Gọi $M(m,\frac{2m}{m+2})$ là tọa độ tiếp điểm, ta có tiếp tuyến tại $M$:
\[\left( d \right):\frac{4}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}}x - y + \frac{{2{m^2}}}{{{{\left( {m + 2} \right)}^2}}} = 0\]
Tâm đối xứng là điểm $I(-2,2)$
\[d\left[ {I,\left( d \right)} \right] = \frac{{\left| {8m - 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {m + 2} \right)}^4}} }}\]
Sử dụng BĐT Bunyakovski, ta có:
\[\begin{array}{l}
\left| {8m - 16} \right| = \left| { - 8.4 + 8\left( {m + 2} \right)} \right| \le \sqrt {128\left[ {16 + {{\left( {m + 2} \right)}^4}} \right]} \\
=> d\left[ {I,\left( d \right)} \right] \le 8\sqrt 2 \\
\end{array}\]
Đẳng thức xảy ra $<=>m=-6$
Vậy ta có $M(-6,3)$, từ đó dễ dàng viết được phương trình tiếp tuyến

Thì thực sự là sai
Khi thay $M(-6;3)$ thì ta được pt tiếp tuyến là: $y = \frac{x}{4} + \frac{9}{2}$

P/s: Việt vip nhờ.